數學知識點總結

時間：2022-02-21 11:44:14 學習總結我要投稿

數學集合知識點總結

　　集合是高中數學中的一個重要考點，相關的知識掌握并不是十分的難，下面是小編想跟大家分享的數學集合知識點總結，歡迎大家瀏覽。

數學集合知識點總結

　　數學知識點總結1

　　一、知識歸納：

　　1、集合的有關概念。

　　1）集合（集）：某些指定的對象集在一起就成為一個集合（集）、其中每一個對象叫元素

　　注意：

　　①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。

　　②集合中的元素具有確定性（a？A和a？A，二者必居其一）、互異性（若a？A，b？A，則a≠b）和無序性（{a，b}與{b，a}表示同一個集合）。

　　③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素；只要是它的元素就必須符號條件

　　2）集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法

　　3）集合的分類：有限集，無限集，空集。

　　4）常用數集：N，Z，Q，R，N*

　　2、子集、交集、并集、補集、空集、全集等概念。

　　1）子集：若對x∈A都有x∈B，則A B（或A B）；

　　2）真子集：A B且存在x0∈B但x0 A；記為A B（或，且）

　　3）交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}

　　4）并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}

　　5）補集：CUA={x| x A但x∈U}

　　注意：

　　①？ A，若A≠？，則？ A ；

　　②若，，則；

　　③若且，則A=B（等集）

　　3、弄清集合與元素、集合與集合的關系，掌握有關的術語和符號，特別要注意以下的符號：

　　（1）與、？的區別；

　　（2）與的區別；

　　（3）與的區別。

　　4、有關子集的幾個等價關系

　　①A∩B=A A B；②A∪B=B A B；③A B C uA C uB；

　　④A∩CuB = 空集 CuA B；⑤CuA∪B=I A B。

　　5、交、并集運算的性質

　　①A∩A=A，A∩？ = ？，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪？ =A，A∪B=B∪A；

　　③Cu （A∪B）= CuA∩CuB，Cu （A∩B）= CuA∪CuB；

　　6、有限子集的個數：設集合A的元素個數是n，則A有2n個子集，2n—1個非空子集，2n—2個非空真子集。

　　二、例題講解：

　　【例1】已知集合M={x|x=m+ ，m∈Z}，N={x|x= ，n∈Z}，P={x|x= ，p∈Z}，則M，N，P滿足關系

　　A） M=N P B） M N=P C） M N P D） N P M

　　分析一：從判斷元素的共性與區別入手。

　　解答一：對于集合M：{x|x= ，m∈Z}；對于集合N：{x|x= ，n∈Z}

　　對于集合P：{x|x= ，p∈Z}，由于3（n—1）+1和3p+1都表示被3除余1的數，而6m+1表示被6除余1的數，所以M N=P，故選B。

　　分析二：簡單列舉集合中的元素。

　　解答二：M={…，，…}，N={…，，，，…}，P={…，，，…}，這時不要急于判斷三個集合間的關系，應分析各集合中不同的元素。

　　= ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，

　　= P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以選B。

　　點評：由于思路二只是停留在最初的歸納假設，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。

　　變式：設集合，，則（ B ）

　　A、M=N B、M N C、N M

　　解：

　　當時，2k+1是奇數，k+2是整數，選B

　　【例2】定義集合A*B={x|x∈A且x B}，若A={1，3，5，7}，B={2，3，5}，則A*B的子集個數為

　　A）1 B）2 C）3 D）4

　　分析：確定集合A*B子集的個數，首先要確定元素的個數，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n個來求解。

　　解答：∵A*B={x|x∈A且x B}， ∴A*B={1，7}，有兩個元素，故A*B的子集共有22個。選D。

　　變式1：已知非空集合M {1，2，3，4，5}，且若a∈M，則6？a∈M，那么集合M的個數為

　　A）5個 B）6個 C）7個 D）8個

　　變式2：已知{a，b} A {a，b，c，d，e}，求集合A。

　　解：由已知，集合中必須含有元素a，b。

　　集合A可能是{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}。

　　評析本題集合A的個數實為集合{c，d，e}的真子集的個數，所以共有個。

　　【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0}，B={x|x2？4x+r=0}，且A∩B={1}，A∪B={？2，1，3}，求實數p，q，r的值。

　　解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12？4×1+r=0，r=3。

　　∴B={x|x2？4x+r=0}={1，3}， ∵A∪B={？2，1，3}，？2 B， ∴？2∈A

　　∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的兩根為—2和1，

　　∴ ∴

　　變式：已知集合A={x|x2+bx+c=0}，B={x|x2+mx+6=0}，且A∩B={2}，A∪B=B，求實數b，c，m的值。

　　解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m？2+6=0，m=—5

　　∴B={x|x2—5x+6=0}={2，3} ∵A∪B=B ∴

　　又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=—（2+2）=4，c=2×2=4

　　∴b=—4，c=4，m=—5

　　【例4】已知集合A={x|（x—1）（x+1）（x+2）>0}，集合B滿足：A∪B={x|x>—2}，且A∩B={x|1

　　分析：先化簡集合A，然后由A∪B和A∩B分別確定數軸上哪些元素屬于B，哪些元素不屬于B。

　　解答：A={x|—21}。由A∩B={x|1—2}可知[—1，1] B，而（—∞，—2）∩B=ф。

　　綜合以上各式有B={x|—1≤x≤5}

　　變式1：若A={x|x3+2x2—8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0}，已知A∪B={x|x>—4}，A∩B=Φ，求a，b。（答案：a=—2，b=0）

　　點評：在解有關不等式解集一類集合問題，應注意用數形結合的方法，作出數軸來解之。

　　變式2：設M={x|x2—2x—3=0}，N={x|ax—1=0}，若M∩N=N，求所有滿足條件的a的集合。

　　解答：M={—1，3} ， ∵M∩N=N， ∴N M

　　①當時，ax—1=0無解，∴a=0 ②

　　綜①②得：所求集合為{—1，0， }

　　【例5】已知集合，函數y=log2（ax2—2x+2）的定義域為Q，若P∩Q≠Φ，求實數a的取值范圍。

　　分析：先將原問題轉化為不等式ax2—2x+2>0在有解，再利用參數分離求解。

　　解答：（1）若，在內有有解

　　令當時，

　　所以a>—4，所以a的取值范圍是

　　變式：若關于x的方程有實根，求實數a的取值范圍。

　　解答：

　　點評：解決含參數問題的題目，一般要進行分類討論，但并不是所有的問題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關鍵。

　　數學知識點總結2

　　一、集合與函數概念

　　1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。

　　2、集合的中元素的三個特性：元素的確定性；元素的互異性；元素的無序性。

　　集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A記作a∈A，相反，a不屬于集合A

　　列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。

　　描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。

　　①語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　②數學式子描述法

　　二、函數的有關概念

　　1、函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數。記作：y=f（x），x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f（x）| x∈A }叫做函數的.值域。

　　一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A B為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：A B”

　　給定一個集合A到B的映射，如果a∈A，b∈B。且元素a和元素b對應，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

　　說明：函數是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，

　　①集合A、B及對應法則f是確定的；

　　②對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關系一般是不同的；

　　③對于映射f：A→B來說，則應滿足：

　　（Ⅰ）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

　　（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；

　　（Ⅲ）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

　　拓展閱讀：學習數學的方法

　　第一、興趣。

　　如今的家庭和學校對孩子的期望很高，而且女生的性格普遍較為文靜，心理不夠強大，還有的就是數學這科目難度相對來說較高，很容易會導致女生對數學的興趣降低。

　　所以說，作為老師應該多關心她們的學習情況，多與她們交流科目上的內容，了解她們的想法，只有理解她們的想法才能有效的制定相應的學習計劃，為她們驅除緊張的情緒，從而達到一個好的學習狀態。與此同時，作為家長的應該多關心孩子的情況，不要一看到成績不好就開口訓斥，這樣對孩子的心理會造成一定的影響，甚至可能削弱孩子對數學的興趣。我們應該用積極的態度去對待孩子的學習，女生的情感與男生不同，她們對于感興趣的，一般會更有耐心克服困難，達到自己的目標。

　　第二、自信。

　　女生的形象思維能力一般比男生要差，邏輯思維能力也如此，所以容易造成沒有信心的現象。事實上，女生在運算準確率方面是很高的，也比較規范，所以我們看到女生的數學答題大都很工整，其實這是一個優點。

　　所謂每個人都有優缺點，我們不應該因為自己的缺點而妄自菲薄，而是應該努力克服缺點，增強自己的自信心，在學習上應該多了解通解通法，還有一些常用的數學公式，解題技巧，還有解題速度。很多女生解數學題的速度都不快，甚至有些女生到時間了還有幾道大題沒做，這樣丟分是讓人很遺憾的。

　　第三、學習方法。

　　很多女生在學習數學的時候喜歡按部就班，注重基礎，但是卻很少做難題，所以便導致了解題能力薄弱。女生上課的時候很認真，復習的時候喜歡看筆記和書本，但是卻忽視了對自己能力的訓練，所以導致了自己適應性比較差。

　　所以，女生應該從這幾點下手，多下功夫，對于難題我們不要害怕，但是也不能一味地做難題，適當的訓練，對于自己的數學能力是有很大提升的。還有，女生在學習數學的時候應該多向男生學習，學習他們的一些優秀技巧，進而轉化為自己的學習技巧，結合在做題上，多訓練，相信對自己的數學水平是有很大幫助的。

　　第四、課前預習。

　　正所謂“笨鳥先飛”，我們經過預習可以提前對新內容有一個大概的了解，從而在聽課的時候能夠有的放矢，對自己不了解的知識點著重注意，很可能會有奇效。而提前預習，還能對女生的心理有一個暗示，對女生的信心提高也是有極大的好處。

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