初中數學培訓總結
總結是事后對某一階段的學習或工作情況作加以回顧檢查并分析評價的書面材料，它可以幫助我們總結以往思想，發揚成績，不妨坐下來好好寫寫總結吧。但是總結有什么要求呢？下面是小編整理的初中數學培訓總結，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。
初中數學培訓總結1
20xx年9月7日至25日，我有幸參加了由保定學院承擔的河北省省初中數學骨干教師培訓。這次培訓對于自己收益很大，培訓時間安排合理緊湊，老師們講課精彩，教學內容豐富多彩。這次培訓給我們提供了一個再學習、再提高的機會，讓我們能聚集在一起相互交流，共同學習，取長補短，共同提高。通過這次培訓，收獲很多，眼界開闊了，思考問題能站在更高的境界，許多疑問得到了解決或者啟發。我們不僅學到了豐富的知識，進一步提高了業務素質。現總結如下：
一、更新了教育教學觀念，以新觀念指導教學
時代在不斷進步，社會在不停前行。同樣，教育教學理念也應與時俱進。特別是隨著新課程改革的縱深發展，很多教育教學中的深層次問題不斷地暴露，這時候更需要理論的指示與專家的引領。對于我個人而言，這次培訓無疑是一場“及時雨”，不僅對理清新課改中的種種關系有幫助，而且對突破新時代教育教學中一些“瓶頸”問題提供新的解決思路與方法。
首都師大博導、新課標研制組組長王尚志教授的《整體把握新課程下的初中數學》的專題報告。他細致的分析了新課改的一些重大變化，如有原來常提的雙基改為了四基，兩種能力也增為四種能力，這些都對一線教師產生了深深的觸動，并對一線教師提出了新的要求。如何在教學中落實成為新時期一線數學教師所面臨的問題，同時也提出了初中數學教學不要僅僅局限于數學課堂，要提高各方面知識和能力。
二、更新了教育教學知識，結合新知識服務教學
教師要知識的更新與教學藝術的更新。作為數學老師，他應是始終站在科學知識岸邊的擺渡人，傳承知識與文化；他應是學生靈魂的塑造師與精神垃圾的清道夫。所以，作為數學教師必須時時保持充電的狀態，此次培訓無疑是一次良好的機會。經過培訓，就我個人而言，不僅在學科知識方面得到一次全面的補充，而且在教學藝術方面得一次新的補充。
人民教育出版社中學數學室主任、課程教材研究所研究員章建躍博士《有效改進課堂教學》的專題報告，對初中數學的教學目標，課堂設計進行了深入的闡釋，提出這是聚焦課堂的教學研究的最直接的方式方法。保定市數學教研員徐建樂老師《進一步理解新課程下的教與學》，保定市新市區數學教研員王衛國老師《數學復習課設計的實踐與思考》等專題報告都從具體教學設計、教師教學、學生學習的方面對初中學學教學從不同方面進行了細致分析和講解。同時強調現在的教師需要有反思精神，需要掌握教育學知識，才能成長為學生喜歡的教師。
總之，教育是一門藝術，需要老師不斷的自己更新，才能更上一層樓。
三、觀摩了名師教育教學，合理吸收利用于教學
此次培訓活動的一大特色就是理論聯系實際。不僅聆聽了專家的解讀，而且近距離地學習了名師的教育教學藝術和班級管理藝術。
保定三中章魏老師的《把握數學本質，打造有效數學課堂》，他通過多達42個實際課例講授了提高數學素質是實現有效課堂的前提及教師應具備的數學學科專業知識等內容，通過多達幾十個實例具體講解課堂的各環節設計。讓學生發現提出問題能力的培養，作為教師首先就要對教材細琢磨，換個角度多想想，發現提出問題，才符合新形勢下對我們一線教師的要求！
觀摩了徐水二中許春英教師、北京九中三名教師、保定七中教師的教學，大家積極開展研討，研討中沒有虛假的恭維，只有真知灼見、真實流露；沒有形式上的大話、套話，只有深入思考后的針鋒相對。現場研討，成為思維交鋒、不同地域多元教研文化交融的平臺，感覺收獲頗豐。
四、理解了教師成長，加速成長要引領教學
教育的發展，關鍵在教師的成長。教師是學校發展的基石，學校的軟實力來自己于擁有一只業務能力強，團結敬業的教師隊伍。對于個人而言，教師的成長不僅是時代的要求，更是適當現代教育的需要。此次培訓，很多專家與同仁重點談了教師如何規劃自己的成長之路，成為名師，成為教育家。
如保定學院韓素蘭教授的《求解中學教師科研難題》的報告中關于中學教師研究解疑的講解條理清晰，研究及書寫論文步驟詳細，并且每點都聯系了大量實際案例，實際操作性強，聽起來很清楚明白，頓時覺得課題寫論文也并不是一件難事。保定學院常務副院長朱紅素教授《適者生存，強者精彩———骨干教師成長為名師的.歷程》從名師的界定、特征解讀、條件闡述、成長路徑等四個方面進行了講解。提出作為名師要具備或盡快培養較強的個人能力：精于教學、長于教研、善于寫作。保定學院數學系主任周和月教授《幾何畫板與中學數學教學》學到了利用幾何畫板達到更好的教學要求實現教學目標。
五、結識了全省教學名師，促進兄弟學校聯系教學
此次培訓是一個很好的平臺，參加培訓的都是全省教學一線的精英、名師，對教育教學都是自己獨到的見解。所以此次培訓是一個非常好的相互學習的機會，平時大家一起學習共同交流。認識，在交流中提升；情感，在交流中深化。同時，通過此次機會，建立友誼的紐帶亦為樂事。創辦的qq群，成為了大家各在一方時交流的平臺。
六、積極發揮示范引領作用，促進學校的教育教學
集中培訓后，我主動將這次培訓的成果帶回單位，充分發揮骨干教師的作用，積極示范，大膽引領，帶領全校的數學教師投入到學校教育教學改革中。在教研組活動中，我積極解答教師教學中遇到的各種難題，引導互動和交流，促進了大家的專業素質的成長。
參加省級骨干教師培訓是自己成長路上的一次重要經歷，我格外珍惜。培訓時積極認真，回到學校，我對自己嚴格要求，事事仔細，目的就是要將學校的年輕教師都培養出來。我相信，通過這次培訓，我在初中數學教學的大路上一定會走得更穩更遠！
初中數學培訓總結2
“國培計劃”送教下鄉培訓在河西鄉九年一貫制學校開班。來自全縣八鄉鎮、城區一小、二小教師，縣民族中學教師，縣教師進修學校及縣教育局教研室工作人員共計140余人參加了此次培訓。本次培訓為期3天，培訓以專題講座、案例分析、同課異構等方式進行，旨在推進“國培計劃”實施，提升鄉村教師職業道德素養和課堂教學能力，打造一支“用得上、干得好”的高素質鄉村教師隊伍，推進全縣基礎教育優質均衡發展。
5月7日上午，開班典禮在河西鄉九年一貫制學校小學部會議室舉行。儀式上，縣教師進修學校校長楊春雁介紹了蘭坪縣“國培計劃”送教下鄉培訓的目的、意義和日程安排，并對全體學員作了培訓紀律要求，一是在培訓期間，不忘初心，牢記使命，認真學習，掌握先進的教育教學理論，提高自己的實踐能力，成為教育改革的奮進者、教育扶貧的先行者；二是積極主動參與到教學活動，讓國培觀念真正深入人心；三是要相互關心，相互幫助，加強交流合作，強化實踐教學能力，營造良好的培訓氛圍，為基礎教育事業的發展做出應有的貢獻。
隨后，楊福賢老師以圖文并茂的方式，從認識壓力、壓力的來源、壓力管理的根本等方面給全體學員講授了題為《身心如一當老師——談新時代教師的壓力與情緒管理》的講座。全體學員認真聽講并做好學習筆記，并在課間與培訓老師積極交流教育教學。
下午，來自云南民族大學附屬中學的王啟兵老師給七年級（1）班上示范課《不等式及其解集》。王老師在授課中面向全體學生，激發學生的深層思考和情感投入，鼓勵學生大膽質疑，獨立思考，并組織學生進行當堂練習，學以致用。學生認真做練習，老師耐心指導。王啟兵老師結合自己多年的'教學經驗給國培學員們分享了《怎么來備課》。
蘭坪縣民族中學數學老師和文勇、河西九年一貫制學校李尚寶老師、中排中學張艷梅三位老師分別給八年級的學生上同課異構《中位數和眾數》，課堂上，各位老師創設情境、引出新知，有效地組織和引導學生從邏輯推理中理解和區分中位數和眾數定義，課堂氛圍十活躍。通甸中學和春紅、營盤中學和興倡兩位老師分別給七年級的學生上同課異構《加減消元法解二元一次方程組》。
老師們都能專心致志，全神貫注，認真的聆聽和記錄。通過磨課、研課、示范課對課堂教學問題進行診斷與聚焦。體現人人參與，人人反思，人人總結，聽課教師直言不諱，暢所欲言。磨課后授課教師虛心聽取了大家的意見，及時改進不足，使整個教研組形成了良好的教研氛圍。
為期三天的培訓圓滿結束，此次培訓幾個方面都給予肯定，一是培訓目的任務明確，緊緊圍繞“研課磨課”、“同課異構”，最終圓滿完成培訓任務，達到預期效果。二是此次培訓組織嚴密，各項工作扎實有序進行。三是上課教師準備充分，高質量完成上課任務，得到大多參培學員的高度認可。四是所有參培學員全勤，認真參與各項活動。聽課專心，評課用心，發言踴躍積極。他們表示：返崗后將此次培訓的知識帶到工作中，用到實踐中，不辱使命，繼續前行，用自己的行動和成績證明我們是學到做到的數學人；我們是愛崗敬業，銳意進取的數學人。他們表示：對數學專業知識和上課技能的提高只有起點，沒有終點，始終在路上……
初中數學培訓總結3
從20xx年8月1日起，我開始了一段難忘的遠程網絡培訓歷程。通過網絡上的理論學習和一些老師具體的課堂案例學習、專家的經典點評，使我認識到應該如何把握初中數學課堂教學。我認識到應該怎樣突破教材的重點難點；怎樣才能深入淺出；怎樣培養學生的探索精神和穿心能力；怎樣才能順利打通學生的思維通道、掌握一定的學習要領，形成良好的數學素養；怎樣才能將一根根主線貫穿于我們的日常教學過程之中。
一、培訓形式多樣，內容豐富
在崗研修各學員在各自任職學校進行，在職學校按照培訓要求監督教師完成規定的學習、研究任務。培訓主要采用分散自學的形式；專題講座與交流討論相結合；理念研討與實踐探究相結合的方式進行。
遠程集中培訓分選修課程、必修課程。選修課程包括教師職業生涯與教師幸福追求；現代教育理念與心理教育；認識的歷史發生原理及其教育意蘊。必修課程包括數學教堂的有限性；開放題的編制與教學；優化數學設計、幫助學生發展；新課程實踐中的`教學理論；從數學史看數學文化價值；初中數學與高中數學教學的銜接；聚焦課堂——通過研究改進教學；文化浸潤的數學課堂教學設計與案例展示等。
二、培訓的主要收獲
這次培訓，從培訓的理念、教學方式以及授課老師的選擇，國家教育部門都經過了精心的安排和準備。聘請特級教師、國家級學科帶頭人教師，構建“導師引領，師生互動，同伴互助”科學高效的培訓模式。這些人來自一線，自身條件好，給成長中的教師培訓對象以很大的啟迪，從而使培訓效果最大化。
1、學員參與互動
（1）組織即時性的課堂研討和交流
數學培訓班根據教師培訓的特點、任務和要求，學員們積極主動參加各項培訓活動，開展教學互動。
（2）組織專題類的班組研討交流
在集中培訓期間，組織了幾次網絡數學沙龍活動，學員就新課改下的數學課堂教學，與專家對話。
（3）組織網絡類的研討交流
數學班簡歷了QQ群、個人博客、公共郵箱，常常在網上相互交流。
2、及時進行教學反饋
為保證培訓課成的質量，班級加強了教學評估工作，及時做好教學反饋。組織學員隊每一位的講課，從專題選擇、講課質量、教學方式、培訓效果等四個方面給予評分，然后結合定性分析，對每一位數學教師教學效果做出客觀評價。
3、實現了方法到理論的提升
教育教學理論的提升是本次培訓的一個重點，授課教師從不同層面不同角度對教育發展的歷史、現狀、和發展趨勢以及新課程改革中的焦點問題進行方方面面精辟獨到的剖析，“用數學的眼光觀察世界”、用熟練的教育技巧和貼切的教育案例，為學員們做了很好的示范。
4、教學實戰能力得到加強
本次培訓充分關注培訓教師的實際需要，不僅在大的緯度上幫助教師構建理論體系，同時更關注新課程背景下課堂教學深層問題。先進的教學理念及其別具一格的教學風格使每位參培學員在觀摩、思考、碰撞中得到提高，感動著學員們一顆顆驛動的心。整個培訓活動從實際到理論，再由理論到實際，循序漸進，降低了學習的難度，提高了學習的實效。
緊張有序的培訓為我們數學班打開了一扇窗，讓我們通過這扇窗開辟了一片新視野。通過近兩個月來幾個階段的培訓學習，對數學班全體學員在理論和實踐上都提升了一個臺階，我們會把所學的運用到實際的教學活動中去，帶動一校，輻射一片，爭取在以后的工作中做得更好，更有成就。
初中數學培訓總結4
一、主要成績
在學校領導的正確領導下，本人按照學年初制定的輔導計劃加以實施，并不斷加以充實和完善，積極進行輔導改革，悉心研討和實踐，旨在如何最大限度的調動學生的主動性，充分發揮學生的主體作用。經過師生的共同努力，最終獲得了國家級數學三等獎，
二、具體做法
數學競賽是青少年科學素質教育的一種不可忽視的方式，是發現人才、選拔人才、培養人才的一種有效途徑，成為現代數學課外教育的一個重要組成部分。
（一）選苗
1、摸底篩選：首先，了解學生中的奧數選手和思維敏捷、解題速度快的學生，其次，在期初進行一次摸底考試，把成績優異者和了解到的兩類學生結合考慮，從中選出50人組成課外興趣小組。
2、期中觀察篩選：由于初二到初三是一個飛躍階段，學生變化較大，初二基礎好，到初三也有右能不適應，初二不怎么好，升入初三后，隨著環境、年齡的.改變，可能會脫穎而出，初三第一學期教師要細心觀察、分析、特色合適的人選。從第二學期開始，對興趣小組進行調整。人選的基本要求：（1）踏實認真肯吃苦；（2）勇于拼搏有競爭意識；（3）思維敏捷、解題速度快，（4）學習成績中等偏上。
（二）、擇材
1、所選輔導教材要求淺顯易懂，技巧性強，方法別具一格，也有一定的權威性，不斷充實一些教材，雜志作參考，以取百家之長
2、競賽輔導例題、習題的選擇應注意針對性、階梯性、典型性、多解性、靈活性。
1）針對性：一是針對學生實際，在學生可接受的基礎上加深加寬，不能盲目拔高。
2）階梯性：從易到難，由基礎知識訓練到技能技巧的培養，層層遞進。
3）典型性：具有代表性，能代表一類題型，有舉一反三的作用，吃透幾個題，就能駕馭一大批題。
4）多解性：這里的“解”，包含兩層意思，一是一題有多種解法，從不同的角度利用不同的知識，獲得相同的結果。
5）靈活性：題型靈活多變，技巧性強，往往用常規的方法不能解或解法很繁，而用某種特殊方法解卻易如反掌。
（三）、輔導
1、時間：一般每星期進行兩次集體輔導。分散時間，分散教材，做到步步扎穩，層層落實。定時布置、檢查，批改數學競賽練習。
2、方法：（1）制定輔導計劃，多詢問，多督促，多鼓勵，多指導。指導他們看一些競賽書籍與雜志，積極參加各家雜志舉辦的數學競賽；給他們指導解題方法與技巧。對這部分學生，鼓勵他們自學，提前完成課堂任務，抽出一定的時間，讓他們越級聽課，越級參賽。
（2）變式。設置變式訓練，使學生舉一反三，一題多變，多題一解，活躍課堂氣氛，提高分類、比較、歸納能力，會收到事半功倍之效果。
（3）專題。根據教材特點和學生的實際情況，定期設置重點課題進行專題教學。如“應用題”、“全等三角形”、“根與系數關系”等等，以期突出重點，攻破難點。
（4）、競賽。定期進行課堂小組競賽，一是檢查學生培訓情況。二是表彰成績好的學生，以提高學生的學習興趣和競爭意識。這也可以作為一種參賽學習。
（5）、參賽前進行心理素質、應試策略、典型的重要解題方法，數學思想、數學原理等輔導。使之有良好的心理準備，臨場時高水平和超水平地發揮。
數學競賽，作為一種智力、能力和美的競賽，豐富了學生的課外活動內容，訓練了學生的心理素質，激發了學生的上進心和創造性思維。
初中數學培訓總結5
經過幾天的初中數學培訓，我受益匪淺，感受很多。近幾年來，伴隨著新的課程改革的實施，教材內容也不斷變化，為了適應這一變化改革的趨勢，我在教學理念和教學方法上也發生了相應的轉變，同時也產生了一些困惑和疑問。而恰在這樣的時候，培訓班開課了，我十分榮幸的成為了其中的一名成員。在培訓期間，我克服了家庭、生活上和工作中的各種困難，每天準時到校，在課堂上我們認真聆聽了一些數學專家、教授和名師的講座和講課，讓我更加深入理解和掌握新課程的理念，提高了對新課程的認識。下面是我這幾天培訓的一些粗淺的體會：
一、經過專家的講解，使我清晰地認識到初中數學新課程的大致內容
通過培訓學習，我清楚地認識到初中數學新課程內容的增減與知識的分布。使我不僅要從思想上認識到初中數學新課程改革的重要性和必要性，而且也要從自身的知識儲備上為初中數學新課程改革作好充分的準備。一成不變的`教材與教法是不能適應于社會的發展與需求的。哪些是中考必考內容，哪些是選講內容，應該分別講解到什么程度，都要做到心中有數。這樣才能做到面對新教材中的新內容不急不躁、從容不迫，不至于面對新問題產生陌生感和緊張感。通過學習，使我清楚地認識到初中數學新課程的組成模塊及知識點，明白了各知識點之間又有的聯系與區別。對于課程必須講深講透，對于部分選學內容，應視學校和學生的具體情況而定。初中數學新課程的改革是為了更好地適應社會發展與人才需求而制定的。為了更好地適應社會發展與需求，作為教師理應先行一步，為社會的發展與變革作出自己的一份貢獻。
二、通過培訓學習，使我清楚地認識到整體把握初中數學新課程的重要性及其常用法
整體把握初中數學新課程不僅可以使我們清楚地認識到初中數學的主要脈絡，而且可以使我們站在更高層次上以一覽眾山小的姿態來面對初中數學新課程，提高教師自身的素質，也有助于培養學生的數學素養。只有清晰地認識并把握好數學的主線，才能更好地將知識有機地聯系起來。較好的整體把握初中數學新課程、清晰地認識并把握好數學的主線，對于一個初中數學教師是非常有必要的，也是非常有意義的。
三、通過老師具體的課堂案例學習，使我認識到應該如何把握中數學課堂教學
通過專家的經典點評剖析，明白了怎樣才能突破教材的重點難點；怎樣才能深入淺出；怎樣才能順利打通學生的思維通道、掌握一定的學習要領，形成良好的數學素養；怎樣才能將一根根主線貫穿于我們的日常教學過程之中。我們已經認識到新的中考越來越傾向于“重視基礎，能力立意”。“重視基礎”，意思就是從最基本的知識出發。從近幾年的中考試題中不難發現，幾乎所有的試題，追根求源，都能在課本中找到它的“根”；所謂“能力立意”，意思是說試題不是基礎知識的簡單堆砌，而是精心巧妙的組裝，通過這種組裝，題目就給人一種新穎、陌生感。“重視基礎，能力立意”不但是高等學府選拔人才的需要，也是莘莘學子將來從事各種工作研究和解決生活、社會問題的需要。因此，一個優秀的教師應該通過把握課堂教學來達到以下兩個目標：一方面，通過我們的日常教學，能有效地幫助學生提高學習成績，以便升入理想的大學繼續深造；另一方面，從根本上提高學生的綜合素質，為將來的持續發展奠定基礎。
總之，通過此次學習，不僅使自己的眼界得以開闊，而且使自己對初中數學新課程有了更深層次的認識和理解，這無疑將對我今后的教學工作產生積極而深遠的影響。在今后的教學工作中我還會進行不斷的反思與改進，讓自己的教學教育工作日趨成熟。
同時，也希望以后經常有機會參這樣加培訓學習。
初中數學培訓總結6
11月4號，在房縣實驗中學很榮幸觀摩學習了省特級教師帶來的示范課及講座！本次數學班培訓，內容豐富，形式多樣，有黃石市八中特級教師教師郭茂榮、黃石市第十四中學的特級教師查婉蘭及武漢一中骨干教師湯曉丹等教學專家的示范課。這一天，培訓既有理論提升又有實踐聽課，既有專家講座，又有互動交流，面對不同風格的名師感覺是幸福而又充實的。在這里，使我更進一步了解和掌握了新課改的發展方向和目標，從數學文化和素質教育的角度進一步認識了數學的價值、數學的美。反思了以往工作中的不足，使自己收獲不小，使我的教育觀念進一步得到更新，真是受益匪淺。下面是我通過培訓獲得的點滴體會：
一、培訓內容安排豐富多彩，和專家面對面交流
本次培訓活動，即安排了貼近我們實際教學的課堂教學活動，又安排了生動的知名的專家講座，做到了理論聯系實際，活動內容豐富多彩。我們坐下來和知名專家進行交流，有針對性地聽課，解決了自己在課堂教學中解決不了的問題，了解和接受最新的教育理論，課堂動態，專家們理論與聯系實際的精彩講解，使我們聽課者備受鼓舞。王國君老師的講座，讓我感到自己還停留在經驗型教師的層面上，讓我看到自己雖然有執著的工作信念，但教學的反思是及其不夠的，美國心理學家波斯納提出了教師成長的公式：成長=經驗+反思。如果一個教師僅僅滿足于獲得經驗而不對經驗進行深入的思考，那么、即使是有“20年的教學經驗，也許只是一年工作的20次重復；這樣他永遠只能停留在一個新手型教師的水準上”。充分說明了總結自己的教育，思考自己的教育行為之重要。使我的思想上受到了震撼，我要不斷地反思自己的教學，尋找自己的差距。
二、培訓產生了思維的觸動，欲逐步更新教學行為
通過理論與實踐的培訓，對我來說，受益頗多。從現場課中，我們感受到了濃濃課改的氣息，教師積極創新的意識；從專家的講座報告中，我們領略了數學最前沿的理論，怎樣才能成為研究型的教師。通過本次學習活動給我很大的啟示。
一數學教師應有的教學方式：
新課程強調教學過程是師生交往、共同發展的互動過程。在教學過程中要處理好傳授知識與培養能力的關系，注重培養學生的獨立性和自主性，引導學生質疑、調查、探究，在實踐中學習，使學習成為在教師指導下主動的、富有個性的過程。教師應尊重學生的人格，關注個體差異，滿足不同需要，創設能引導學生主動參與的教育環境，激發學生的學習積極性，培養學生掌握和運用知識的態度和能力，使每一個學生都能得到充分的發展，為每一個學生終身發展打下良好的基礎。教師不再是權威，只是教學過程的組織者、引導者，課堂上會較多地出現師生互動、平等參與的生動局面，教師盡可能地組織學生運用合作、小組學習等方式，在培養學生合作與交流能力的同時，調動每一個學生的參與意識和學習積極性，課堂教學形式多樣，經常開展講座交流和合作學習，讓大家共同提高，老師們多是鼓勵性的話語，對待學生和藹可親，盡量發現學生的閃光點。
二學生應有的學習方式：
在基礎教育改革下，學生學習方式開始逐步多樣化，學生在學習中能樂于探究、主動參與，勤于動手，學生的學習，不再是整天處于被動地應付、機械訓練、死記硬背、簡單重復之中，不再是對于所學內容總是生吞活剝、一知半解、似懂半懂，學習內容比以前寬泛多了，經常能夠聯系實際，接觸社會實際，從生活中來學習、思考，作業形式也豐富多了，有手工制作、寫小論文、社會調查、查找資料等等。活動性作業比書面作業有增多，讓學生學習更輕松、更喜歡上學，對學習更有興趣和積極性。
三新課改下的評價方式：
新課程的評價強調：評價功能從注重甄別與選拔轉向激勵、反饋與調整；評價內容從過分注重學業成績轉向注重多方面發展的潛能；評價技術從過分強調量化轉向更加重視質的分析；評價主體從單一轉向多元；評價的角度從終結性轉向過程性、發展性，更加關注學生的個別差異；評價方式更多地采取諸如觀察、面談、調查、作品展示、項目活動報告等開放的及多樣化的方式，而不僅僅依靠筆試的結果；更多地關注學生的現狀、潛力和發展趨勢。我們可通過在汲取學生時代的經驗的同時，通過在職培訓、自身的教學經驗與反思、和同事的日常交流、參與有組織的專業活動來促進我們自身的專業成長。
通過本次的學習，我知道了如何更好地反思教學，如何進行同伴互助，怎樣從一個單純的教書匠轉變成一個“經驗型”的教師等等。這些理論對我來說很是及時，有了這些先進的理論，才能得出有效的實踐。正如專家所說：高標準要求自己，高水平引領學生，高境界體現價值，真正落實“根”的教育。
在以后的.教學中，我要做的是：
第一，自我反思。從以往的實踐中總結經驗得失。
第二，學習。讀萬卷書，行萬里路，讀書是提高自我素養的良好基奠，知識是財富，人生旅程是財富，教學經驗、過程與感悟更是財富。
第三，交流。他人直言不諱的意見與建議可能是發現不足、認識“廬山真面目”的有效途徑。要聽真言，要想聽真言，更要會聽真言，久而久之對我大有裨益。
問渠哪得清如許，為有源頭活水來。培訓還將繼續，我會抓住這次難得的機會，不斷提高理論知識，填充自己。因為自己以前實在是知識面較窄、積累也很少。于是我暗暗下定決心，一定要抓緊一切有利時機來完善和提升自己，爭取再上一個臺階。
“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”。通過本次培訓使我深有感觸：新課程下的課堂教學，應是通過師生互動、學生之間的互動，共同發展的課堂。它既注重了知識的生成過程，又注重了學生的情感體驗和能力的培養。因此，在今后的教學中，要用自己學來的知識豐富自己的數學課堂教學，優化自己的課堂教學，創出自己的教學特點。我們在教學中對教材的處理、教學過程的設計以及評價的方式都要以學生的發展為中心，以提高學生的全面發展為宗旨，這才是我的最終目標。
初中數學培訓總結7
參加初中數學遠程培訓二個多月時間了，通過這段培訓，我受益匪淺，感受很多。下面就是我的點滴體會：
一．對新教材有了初步了解
學習了義務教育新課標的理念和課例解讀后，我對于未曾變動的舊的知識點，考綱上有所變化的做到了心中有數。對于新增內容，哪些是中考必考內容，哪些是選講內容，對于不同的內容應該分別講解到什么程度，也更明確了。這樣才能做到面對新教材中的新內容不急不躁、從容不迫，不至于面對新問題產生陌生感和緊張感。通過學習，使我清楚地認識到初中數學新課程的內容是由哪些模塊組成的，各模塊又是由哪些知識點組成的，以及各知識點之間又有怎樣的聯系與區別。專家們所提供的專業分析對我們理解教材，把握教材有著非常重要而又深遠的意義。對于必修課程必須講深講透，對于部分選學內容，應視學校和學生的具體情況而定。
二．對課堂教學設計、教學案例的編寫方面的內容有了提高。
培訓活動中，自己通過視頻觀看學習了“案例導入”、“專家講座”、“互動討論”、“課例作業”等內容，使自己在教學設計、教學案例以及課堂教學等方面有了進一步的提升和加強，特別是在課堂教學設計，令人豁然開朗。通過視頻觀看學習了《有序數對》和《圖形的旋轉》，感覺很有收獲。如以往聽課從未記錄過講課者教學過程各個環節的時間分配，聽課時只注意了講課者的知識傳授情況，而沒注意欣賞、品析講課者的教學追求、洞察其教學的理論依據等。特別是聽了
專家講座后，自己才知道還有很多不足。自己今后將認真按專家的指點開展教學活動。
三．對初中階段“數與代數”、“ 空間與幾何”、“統計與概率”以及“應用性問題教學”的教學方式有了進一步的認識。
本次培訓活動中，培訓的內容極具代表性，涵蓋了初中階段的“數與代數”、“ 空間與幾何”、“統計與概率”以及“應用性問題教學”等內容，因為自己在以往的教學中對初學幾何的學生開展教學時十分頭疼，特別是在幾何推理的教學中，學生往往不入門，通過專家的培訓講解，使自己在這一方面的教學中有了一定的方法。還有，對于自己在教學中遇到的一些困惑，自己將按專家的要求認真嚴格要求自己，提高自己。
四.教學實戰能力得到加強
本次培訓充分關注培訓教師的實際需要，不僅傳授了現代教學技術和手段，在大的`緯度上幫助教師構建理論體系，同時更關注新課程背景下課堂教學深層問題。專家向我們講授了“計算機教學手段應用”“中學教師標準解讀”“教學技術及應用”“新課標解讀”等，先進的教學理念及其別具一格的教學風格使本人在觀摩、思考、碰撞中得到提高。整個培訓活動從實際到理論，再由理論到實際，循序漸進，降低了學習的難度，提高了學習的實效。
五．通過培訓學習，使我清楚地認識到整體把握初中數學新課程的重要性及其常用方法。
整體把握初中數學新課程不僅可以使我們清楚地認識到初中數
學的主要脈絡，而且可以使我們站在更高層次上面對初中數學新課程。整體把握初中數學新課程不僅可以提高教師自身的素質，也有助于培養學生的數學素養。只有讓學生具備良好的數學素養才能使他們更好地適應社會的發展與進步。與學生的總結、交流能促進我們產生更多更好的授課方式、方法，產生更多更新的科學思維模式。這對于我們提高課堂教學質量具有非常現實而深遠的意義。
總之，此次培訓活動，使自己的教育教學觀念、教學行為方法、專業化水平，教育教學理論均有了很大的提升。今后，自己充分將所學、所悟、所感的內容應用到教學實踐中去，做新時期的合格的初中數學教師。
初中數學培訓總結8
為期一周的的暑期初中數學骨干教師的培訓已結束，回顧幾天的培訓，時間雖不長，但內容豐富，每天六個小時的講座（中間穿插交流互動環節），我都邊聽邊記，積極思考。在這次的學習中，專家、教授們為我們帶來了全新的數學思想，嶄新的教學理念，新的教學方法，論文的撰寫技巧，案例的教學與研究等等，這讓我在數學教學理念上有了更深刻的認識。數學文化，數學觀，數學哲學，課堂教學模式的多樣性等等正是我日常教學缺少的理論基礎。特別是老師關于教學模式的多樣性非常貼近我們的'實際教學。我認為，教師只有汲取豐富的教學理念，才能真正駕馭課堂。
開班第一天是江蘇省教科院研究員、碩導李善良的《與數學教師談專業發展》，李教授從高、微、雅、逸四個方面來闡述教師的專業發展：對于每一位教師，首先要有遠大的理想，要有較高的目標，從教書匠——教師——教育家，要有自己的風格，有自己的特色，有自己的靈魂；其次要不斷挑戰自我，不斷學習，探索教學規律，形成教學風格，進而形成教學思想；第三，要起點高，要探索，創新，有批判性思維，善于獨立思考；第四，學習時接觸的朋友、書籍、文章水平要高，要讀大師原著；第五，要善于挑戰，只有為自己樹立強大的對手，才能不斷地激勵自己。我想：我們若能做到李教授提出的幾點，那么將會大大促進我們的專業成長。
南京師范大學教授喻平的《中學數學課堂教學評價理論與案例分析》告訴我們：課堂教學評價是一種價值判斷，即教師的教、學生的學和最終的課堂教學質量及效果，是對實然的教學效果和應然的目標的評價；讓我們知道數學教學觀是數學觀和教育觀的整合，強調教學過程層面的評價，即教學方法的選擇與實施的效果，教學效果是評價的前提，也是評價的歸宿。給我們一線教師的教學指明了方向。
華東師范大學教授李士錡的講座十分精彩，讓我知道教學不僅僅是向學生傳授知識，數學是思考和解決問題的方法和過程，有什么樣的數學觀，就有什么樣的教育觀。數學學習、數學思維就是一個反復嘗試、探究，不斷修正、改進、完善的過程。
鄭毓信教授在《數學教育哲學》中指出：教師應當提倡“反思性實踐者”這樣一個關于實踐工作的新定位，應當努力做好“理論的實踐性解讀”與“教學實踐的理論性反思”，它是教師專業成長的基本途徑；教師不應熱衷于追求某種標準答案，而應明確承認這方面觀念的多樣性，并應更加重視如何能從中吸取有益的思想和啟示，特別是，這些觀念對于我們改進教學究竟有哪些思想和啟示。從動態數學觀來看，數學并非事實性結論的簡單積累，而主要應被看成是人類的一種創造性活動，教學中應當突出主要問題，努力培養學生提出問題的能力（問題意識），應重視思維方法的教學，做到基本知識不要求全，而應求連；基本技巧不要求全，而要求變；基本思維不要求全，而應求用。做一個具有哲學思維的教學工作者，要堅持獨立思考，包括一定的批判精神；要堅持辯證思維；要有問題意識與變革精神。教師在教學中要善于提問，善于舉例，善于比較與優化，才能真正發揮教師應有的指導作用。
通過這次培訓，我開拓了專業視野，領悟了新課程理念，更新了教育教學觀念，升華了專業理論水平。在今后的教育教學中，我將運用這些理論指導自己的教學實踐，不斷提高自己的教學能力和專業素養，促進自己的專業發展。
初中數學培訓總結9
尊敬的各位領導、同仁：
大家好！
根據學校安排，上學期末，我在陜西師大參加了為期20天的“美麗園丁”教師業務培訓學習，下面結合我的教學及專家們的教導向各位領導和老師做一匯報：
1、備課。教師要上好一節課，必須要備好課。備課過程中要考慮“教什么？怎么教？學生學什么？怎么學？”這是上好一節課的關鍵。下面結合專家的報告和自己的教學談談如何備課？
首先要進行教材分析。分析本節課知識與本章知識的聯系，與學過知識的聯系，與將要學習知識的聯系，明確本節課的重要性，也就是要揣摩編者的編寫意圖，其次就是目標的確定。確定了學生“教師教什么？學生么？”這一定要慎重確定，若教師把握不準，一定要結合參考書或教學大綱，因為它關系到本節課的成敗。到底怎樣確定目標呢？我們知道，新課標要求“三維目標”即：知識與技能、過程與方法、情感態度價值觀。我們在平時備課時只注重知識與技能目標，卻忽視了過程與方法、情感態度價值觀這兩個目標，這樣會導致以下問題：平時會做測試卻不會，學生看起來好想會了，但做題過程卻含糊不清，過程推理邏輯性很差等諸多問題。這其實并不是學生的問題，而是教師在教學中沒有很好的落實三維目標所致。再次確定重難點。重難點的確定要根據學生實際出發，不能在教學參考書上抄，要結合我們的學生確定重難點。最后明確教法學法。其實這也是明確“教師怎樣教？學生怎樣學？的問題”，利用那些教具，采用什么樣的方法，采用什么樣的措施，才能使學生學得輕松，學得愉快，這才是非常重要的。要落實好這個環節，了解學生學習生活經驗是非常重要的，了解學生是否有此累知識的經驗,在已有經驗的基礎上學習新知肯定會容易一些這就要我們教師分析本節課知識與前面學過的那些知識有聯系，或學習方法相同，或學生生活中已經接觸到相關知識，這時，我們就可以通過溫故知新，或方法類比，或情景創設。讓學生通過自學、或結合已有經驗得出結論。這就要求我們教師在備課過程中設計好每個環節，怎樣提出問題，通過什么方式方法解決問題。同時還要考慮設計哪些環節，準備那些教具來實現教學目標，突破重難點，來對知識鞏固拓展檢測。
2、課前互動。課備好了，課前互動也是同樣重要。在和學生的活動交流過程中，可以了解學生對某些知識的理解程度，對前面學習過知識的遺忘程度，進而調整自己的教學，也可以通過互動交流拉近師生距離。人常說：“親其師，信其道”這樣有助于課堂教學，也可以通過課前互動讓學生放松。由于學生學習壓力大，部分學生下一節課都快上了，他卻仍然沉靜在上一節課的某些情境中。“我明明沒睡覺，老師就是冤枉我，這老師就是看不起我給我找茬”、“這個單詞我真的記不下，煩死了”、“這個老師真討厭，今天又罵我了”等等，這樣的狀態對本節課學習肯定有影響。這就要我們教師組織學生進行課前活動：如讓教室里的學生走出教室看看遠處，做一些小游戲，或者和學生交流交流，也可以在教室講講笑話，讓學生笑一笑、放松放松，盡可能讓學生以最佳的狀態走進自己的課。
3、課堂教學的導入。合理的導入，可以啟發學生的思維，激發學生的學習興趣，調動學生的積極性，集中學生的注意力。從而引導學生樂于思考，積極主動的參與討論，始終參與到教學活動中，進而提高課堂教學效益，取得較好的教學效果。下面就談談數學教學中的幾種導入方法：
（1）溫故知新復習導入。通過對舊知識的復習，引入對新課的學習，使學生會感覺到今天學習的知識并不陌生，有利于對新知識的掌握，這種方法注重只是銜接，一舉多得，不僅有利于対舊知識的鞏固，而且能為新知識的學習做好鋪墊。
（2）激發興趣故事導入。針對學生愛聽有趣故事的特點，根據學生年齡特征編制故事，營造情景導入新課。這樣既能提高學生的學習興趣，又能豐富學生的數學知識。
（3）.聯系生活情景導入。數學源于生活用于生活，用貼近生活實際的學習素材，導入課題，不僅使學生感到親切、自然，激發學生的興趣而且能喚起學生的認知行為，促使學生主動思考，為探究新知打下基礎。
（4）.問題前置質疑導入。利用本節課需要解決的問題來導入新課，調動學生探求知識的心理，激發學生的求知欲，從而形成學習動力，這種導入方式使學生有“要我學”為“我要學”，變被動為主動，會取得很好的效果。
導入的方法很多，如還有類比導入法、演示導入法、討論導入法等等。導入法的目的是通過激發學生興趣、學習動力解決問題，在選取導入方法是一定要結合教材知識和學生實際，力求效果最大化。
4、小組合作。關于小組合作，在我的教學中迷茫了好幾年，怎樣的合作最有效？什么時候組織小組合作？等問題一直困擾著我的課堂教學。這次培訓聽了劉旭亮老師的講座，使我感受很深。首先我先說說如何分組。小組合作可分為“同質合作”和“異質合作”。學生的'作為可以不固定，在合作教學中，他們可以找志同道合的同學進行討論，也可以找成績接近的同學進行討論，這樣同質合作便于教師分層教學，但課堂教學很難調控，這就要求教師在布置問題是盡可能分層布置，既能使學困生“吃得消”，又能使優等生“吃得飽”。“異質合作”便于教學同步進行，教師如果分工、管理不當就會出現：優等生唱獨角戲等現象，不利于學困生發展，他們只是知識的被動接受者，長期下去會加劇兩極分化。用“同質合作”還是“異質合作”要靠教師有效、合理的調控。小組合作要做到“五有”即：有問題、有時間、有過程、有展示、有評價。有問題就是要讓學生知道我們要在合作中解決什么問題，帶著問題去合作；有時間就是當問題出示后要給學生留有思考的時間，讓他們找到討論點。有過程就是要求每一位學生都要參與討論，積極發表自己的觀點，親身體驗知識的生成過程；有展示就是要求學生通小組合作，將自己小組的討論結果向大家展示，這樣達到檢測督促作用，同時也給學生展示自己的機會；有評價就是要對學生的活動參與率、匯報結論的正確率進行評價，對知識點進行強調，對表現突出的學生進行表揚。
5、做個“懶”教師。課堂上盡可能把時間還給學生，在學生明確目標的基礎上，讓學生通過動手、動腦自己得出結論，讓學生通過親自參與將知識內化。我們平時經常會說，這道題或這個知識點我講了好多遍學生還是做錯了，這是為什么呢？也許我們將解釋學生根本沒有聽或者是聽了，由于無法理解沒過多久就忘了，這樣我們教師可以說是出力不討好，何苦呢？在課堂教學中，盡可能做一名“懶”教師學生自己能解決的或講了也無法接受的堅決不講，講了也只有少數學生能聽懂，盡可能讓部分學生通過討論自己解決，或者進行個別輔導，知識點、易錯點教師要通過典型題精講。
6、課堂上允許學生犯錯誤。這里的犯錯誤并不是上課允許學生睡覺、玩手機等，而是知識方面可以犯錯誤。把這作為教學案例，讓學生參與糾錯活動，讓學生發現問題，改正問題，達到知識的強化。其實這個過程可以培養學生發現問題的能力，改正問題的能力，其實也培養了學生應試能力。通過這個糾錯活動，讓學生在關鍵時刻（測試）不出錯。
學困生板演→中等生糾錯→優等生講解
↓↓↓
允許出錯→發現問題→解決問題
7、數形結合教幾何。很多學生討厭幾何學習，有很多性質、定理、判定記不下，遇到證明題就頭痛。其實，這也是個事實問題，學生每天需要記憶的知識太多了：語文老師要求背誦文言文，英語老師要求記單詞、短語等等，數學性質、定理、判定又很難記憶，有時候記下也用不上或不會用。如果我們數學老師再讓背誦性質、定理、判定的話，學生能喜歡我們的數學嗎？說句實話，我在教學中，幾乎不背這些，通過圖形來回顧性質、定理、判定。如學習垂徑定理時，我畫了一個圓畫了一條直徑和一條與直徑垂直的弦（不是直徑）。我把其中的五個條件成為五要素，這五要素中存在“知其二得其三”。這樣數型結合讓學生理解記憶。那特殊銳角三角函數值怎樣辦呢？可以畫圖證明。
總之，通過本次教師的培訓，自己收獲頗多，感受頗深，是我對初中數學教學有了更深層次的認識，我會在今后教學中堅持學習，力求是自己的課堂教學效率更上一層樓。
初中數學培訓總結10
我有幸參加了這次數學培訓，在學習過程中，我認真聽取了三位專家的精彩講演，自己無論在思想認識及教育觀念、教育理論和方法、教師業務素質及業務修養、新課程改革等各方面都學到了很多東西，這對于改進我自身的教育教學工作有很大的幫助。總結如下：
（1）認識到教師的任務不僅只是教學，教育科研更不僅是專家們的“專利”。先進的教育理念和教育模式都離不開教師的教學實踐，我們不能總是把別人的或原有的理論和經驗用于自己的教學。
（2）重視問題解決與研究。在教育教學活動中能及時發現問題、分析問題，并努力探求解決問題的途徑與方法，使教育教學過程得到及時的調整，從而有效提高教學的質量和效益。
（3）在推進新課改的過程中，必然會遇到一些前所未有的新問題、新情況，要能在變遷與復雜的教育教學情景中進行獨立思考和判斷，并通過自己的研究尋找出最佳的教育教學行動策略和方案。
（4）善于與同行交流，學習借鑒他人經驗。不斷學習新知識，加深對數學的理解，并把成果應用到教學設計和教學實踐，不斷吸收、篩選符合學生需要的觀念和方法。改變學生學習方式，提高學生靈活的數學應用能力
（5）知道一般概念和推理方法對使用數學工具的重要意義，利用對數學中各種概念之間相互關系的深刻理解和廣知識，幫助學生在掌握基本概念和推理方法的基礎上，建立一套他們自己的數學方法。
總之，通過本次骨干教師的培訓，自己收獲頗多，感受頗深，但我覺得最重要的是在今后的教學工作中如何把本次培訓所學到的理論始終如一的貫徹下去，使自己的教學工作不斷完善、不斷提高。
5月10日在興福中學進行了“全縣數學教師培訓”，主要是針對初三復習講了兩節匯報課：一節是試卷講評課，一節是專題復習課，然后是備課教師談自己的備課過程，然后是部分教師談自己的看法或觀點，最后還有兩處學校介紹了自己學校對畢業班教學的處理。通過這一天的學習，對這個第一年教畢業班的我來說收獲太多太多。
一、在教學過程中要注意數學思想的滲透和學習方法的引導。我們教學不能是機械的教學，應該通過一個題的'講解，教師從中提煉出題中蘊含的思想、規律和方法。要讓學生通過我們的講解能融會貫通，舉一反三。
二、學生是學習活動的主體，教師在教學過程中只是起“畫龍點睛”的作用。把課堂教給學生，給學生一個展示自我的機會，這樣不僅可以激發學生的學習興趣，更重要的是提高了學生的能力，而且有時候學生會有更好、更適合學生的解題方法，何樂而不為呢？
三、一節課成功與否不在教師講多少內容，而在學生會多少。如果一個問題學生徹底理解了、吃透了，變式問題只是鞏固與應用。
四、處理問題要找準突破口，基礎知識要抓牢。復習一個知識點要把它放到一個問題中，以問題為載體，讓學生在解決應用的基礎上理解體會，達到復習的目的。
總之，通過這次學習，我學到的很多。我會細細品味，把學到的應用到自己的教學中，不斷提高自己的教學水平。
初中數學培訓總結11
參加完3月29日的考試，回想去年8月暑期開始的浦東新區數學教師專項培訓，感觸很深。首先，這對于我來說是一個極好的機會，作為一個年輕教師，除了第一年有過一次新教師培訓，這樣系統有針對性的培訓從沒有接觸過。我參加的是初級班培訓，主要是針對初中教師存在的一些常見的問題如：進一步提高教師的教學能力、師生溝通的技巧、怎樣寫教育案例、如何做教學反思等課程，也有提高數學教師專業發展的如：數學命題試卷分析、初中函數與分析、數學課堂教學設計、數學思想與方法論等課程。本次培訓共開展了21次活動，主要分了3個階段，每一個階段的都各有收獲，現總結如下：
第一階段是專家和骨干教師的講座和交流，之間聽了一些生動的報告。黃俊嶺老師的師生溝通技巧讓我知道了和學生交流方式的重要性，在平時的教育教學中，我總覺得和學生的溝通不是最有效，而通過黃俊嶺老師的講座，我了解到師生間不良的溝通方式，師生有效溝通的原則，教師課堂管理解決問題的策略，優秀教師的幾條人格魅力等等。確實使我受益匪淺。；顧志躍老師的進一步提高教師的教學能力讓我了解當前一名教師專業發展的各方面要求；惲敏霞老師的教學反思研究，讓我理解了教學反思就是教師自覺地把自己的課堂教學實踐，作為認識對象進行全面而深入的冷靜思考和總結，從而進入更優化的`教學狀態，使學生得到更充分的發展，它是一種有益的思維活動和再學習活動。教師的成長應該是經驗加反思。教學反思可以激活教師的教學智慧，是我們教師成長的“催化劑”，是教師發展的重要基礎；是區別經驗型教師與學者型教師的主要指標之一。她從七個方面給我們講了如何做好教學反思，讓我們能更好的做好教學反思。這讓我深深體會到一個教師寫一輩子教案難以成為名師，但如果寫三年反思則有可能成為名師這句話。還有一節課老師列出了一系列的初中數學解題典型錯誤，很遺憾我不記得老師的名字，但這卻讓我在這些方面引起了重視。在進行教學時，預先了解學生的典型錯誤，能進行有針對性地教學，同時也能選擇更好地教學方法和手段進行教學，讓學生的這些典型錯誤能進行糾正，學生的錯誤率有所降低。這些可以使我們從預備初一等低年級就把握住中考的方向，還能在低年級時，給學生慢慢體會很多重要的數學方法和數學思想。最讓我印象深刻的是呂飛老師的幾何畫板，在這之前我基本只會簡單的運用這個軟件，而1天的課程讓我掌握了幾個關鍵的技術，真正感受數學多媒體運用的實用性和魅力之處，可惜時間太短，有機會真希望還能進一步的深入學習。幾位數學教研員或骨干教師的數學命題分析和試題講解讓我也感觸頗多。聽了各位專家的講座，我覺得在今后的教學生涯中，我們不應僅僅著眼于一些短期利益，而應把眼光放長遠一些；課堂教學中應重視數學思想方法的滲透，而不局限于單一解答方法的教學；不要盲目地迷信新課程標準，而應辨證地看待它。總之，通過這些理論的學習實踐的指導使我深刻的領會到要成長為一名優秀的教師所要付出的努力以及必經之路。
第二階段是聽課評課，對于初級班的學員，我們20位老師分成一組，每人上交一張教學光盤，無論中青年教師，大家都非常認真的觀看，其中好幾位老師的課讓人眼前一亮。課后的交流中大家暢所欲言，各抒己見，教學中經歷的困惑、感受產生了許多共鳴。其實教師之間經常互相聽課和評課是教師提高自身教學水平的一條重要途徑。作為一名年輕教師，能夠經常聽聽其他老師、特別是優秀教師的課，有利于學習他們良好的教學態度、教學作風和教學經驗。在這次的活動中，我們就有了很多這樣的機會。最后回到實際來評價組內每一位教師的課，來提高自己的評課水平，加上導師的點評，起到了畫龍點睛的作用。
第三階段是培訓評價，最重要的當然是3月29日剛結束的考核，在復習過程中，又一次把第一階段的講座知識經過了歸納和梳理，我感受到雖然是條件性性知識是開卷考試，但整理材料的過程中我已經不知不覺了解了許多知識。而本體性知識的考核也讓我深刻體會到提升基本功的重要性。作為一名年輕教師，我目前最高只帶過初一年級，這次本體性知識題目我做起來感到非常的陌生和不適應，讓我深深體會到教師解題能力的重要性，要教給給學生一碗水老師必須要有一桶水甚至更多，而這對于我未來的發展是非常重要的。
在幾年的教學中有許多困惑，說實話，這次培訓許多問題還沒有得到根本上的解決，但卻給了我許多啟示。培訓結束了，但學習的道路是永遠沒有止境的。真心感謝上級能給我這一個寶貴的學習機會，使我認識了許多其他兄弟學校的老師和名師，使我從中學到了很多理論和實際知識，希望自己能得到更多老師的幫助。
初中數學培訓總結12
我們來自農村的教師得以與眾多專家、學者面對面地座談、交流，傾聽他們對數學教學的理解，感悟他們的教育教學思想方法。這次培訓內容豐富，安排合理，使學員們受益匪淺。
一.理論學習，飛的更高。
(一)專家講座，思想理念的提升!
我們這次培訓班名稱是：“國培計劃”——初中數學骨干教師培訓班，班主任是易才鳳老師，副班主任是劉詠梅和虞秀云老師，班主任助理是周玲芳和陳艷鳳。本次培訓，聽了專家胡惠閔教授《基于學生經驗的學習活動設計研究》等講座14個，從師德、當前教育教學改革動向、教科研、課堂教學專題、教材解讀、現代教育技術應用等多方面進行，各位知名專家、學者、特級教師從自己切身的經驗體會出發，暢談了他們對師德以及教學等教育教學各個領域的獨特見解。讓我們更清晰地意識到作為一個農村教師該如何看待自己所處的位置，該如何去提升自己的專業水平。在知識方面，我們深感知識學問浩如煙海，也深深地體會到教學相長的深刻內涵。教師要有精深的學科專業知識，廣博的科學文化知識，豐富的教育和心理科學知識。知識結構要合理，當今的自然科學，社會科學和人文科學互相滲透，相互融合，只懂自己專業的知識是遠遠不夠的，這一點我們在學習中體會很深。精深的專業知識是教師擔任教學工作的.基礎。這就要求教師要扎實的掌握本學科的基礎理論，基礎知識以及相應的技能，并運用自如。熟悉本學科的學習方法和研究方法，同時還要具備一定的與本學科相關的知識。學員們在這次培訓中發現自己專業知識還很欠缺。只有掌握全面的學科知識才能在教學過程中高屋建瓴的處理好教材，把握住教材的難點，才能有對教材內容深入淺出的講解。從而保證教學流暢地進行，使學生既學到知識，又掌握學習方法和發展能力。
(二)學員論壇，思想交流的園地!
在理論培訓階段，為了提升每位學員自身的理論水平，安排了三次小組交流。在小組討論中，學員們暢所欲言，許多提出的觀點和問題，都是農村數學教學中的實際問題，引起全體學員的一致共鳴的同時，也得到專家們的重視，他們的回答也給了我們很好的啟示，對于我們今后的教學有著積極的促進作用。對每一個專題進行總結，有了自己的看法，有了自己的思想，有些觀點非常精髓，有獨到的見解，我們有些學員開玩笑的說：“我們自己也有一些專家的天份!”。
(三)反思，理論水平提高的源泉!
這次培訓要求每個學員每天都要做筆記，寫反思學習日志，寫心得體會，提出困惑。也為我們學習和交流提供了一平臺。認識到繼續教育的重要性，樹立終身學習的目標，這次培訓，就自身更新優化而言，使學員們樹立了終身學習的思想。通過培訓，感覺以前所學的知識太有限了，看問題的眼光也太膚淺了。教師只有樹立“活到老，學到老”的終身教育思想，才能跟上時代前進和知識發展的步伐，才能勝任復雜而又富有創造性的教育工作。“問渠那得清如許，唯有源頭活水來。”只有不斷學習，不斷充實自己的知識，不斷更新自己的教育觀念，不斷否定自己，才能不斷進步，擁有的知識才能像‘泉水”般沽沽涌出，而不只是可憐的“一桶水”了。
二、同行交流，取長補短!
本次培訓，匯聚了全省各地的骨干教師，每位培訓教師都有豐富的教學經驗，教學的外部條件也非常相似，但也存在著許多的差異，為我們之間的相互交流提供了很好的一個交流平臺。因此，成員之間的互動交流成為每位培訓人員提高自己教學業務水平的一條捷徑。在培訓過程中，學員們在交流過程中，了解到各區縣的新課程開展情況，并且注意到他們是如何處理新課程中遇到的種種困惑，以及他們對新課程教材的把握與處理。在培訓中，我們不斷地交流，真正做到彼此之間的相互促進，共同提高。
三、教學實踐，飛得更遠!
(一)教學實踐，本身就是一種環境的體驗。
在職研修自主學習安排三個月，12月18日開始，我們回到學校進行教學實踐分散學習。通過教學策略的修正，對比教學，使我感觸到自身課堂教學中最本源的東西，在教學中反思，在反思中成長。同時，在教學實踐的過程中，積極參與學校的校本教研活動，經常聽一些優秀教師講課，學習他們規范的組織方式，感受他們濃厚的教研氛圍，積極尋找差距所在，當然，也積極報名參加上公開課，接受自我反思和導師與同伴的診斷，使我對于校本教研有了更好的認識與把握。
(二)校本教研，診斷提高。
在集體備課的前提下，采用“示范—診斷—提升”的實踐模式：指定教師上示范課，其余教師觀摩——我和同伴聽課診斷——我指導教師進行診斷性說課、評課——我指導教師修改教案—指定教師上第二次課(提高課)、我和同伴聽課——我指導教師進行教學反思和總結。通過實實在在的行為，加深教師對教學的理解，加深對課堂的掌控，加深對細節的把握，從而提高課堂教學藝術。
四個月的培訓是短暫的，但是留給我的記憶與思考是永恒的，通過這次培訓，使我提高了認識，理清了思路，找到了自身的不足之處以及與一名優秀教師的差距所在，對于今后如何更好的提高自己必將起到巨大的推動作用，我將以此為起點，讓“差距”成為自身發展的原動力，不斷梳理與反思自我，促使自己不斷成長。
初中數學培訓總結13
短短90學時的數學培訓給我留下了深刻的印象。此次培訓分為理論學習和實踐活動兩個階段，回味這兩次的學習生活，雖然緊張而忙碌，但也因收獲而豐潤。
一、理論學習感悟：
作為一名普通的數學老師，我們最渴求知道的還是“如何上好一節課？”要真正上好一節課確實很難，所以這方面的理論學習是我們最需要的。通過幾天的理論培訓，讓我深深體會到作為一線教師，只有深入的研讀和挖掘教材中所提供的豐富的信息資源，才能合理、有效地使用好教材；每天聽著專家們的精彩講演，他們的每一句話每一個觀點，都值得我推敲，我在收獲甜甜果實的同時，我心里也有酸酸的感覺，他們厚實的文化底蘊，執著的教育追求，嚴謹的治學態度，讓我感到汗顏。回顧自己的教學，才發現自己實踐的不少，但思考太少。常以工作忙為借口懶于反思、總結，通過這次學習，我才發現在不經意間我錯失了許多。這幾天的理論學習讓我親身體驗到了專家、名師們身上所散發的各具特色的人格魅力，他們的敬業精神和專業精神以及淵博的學識，讓我明白了什么才是充滿魅力的課堂。
二、實踐活動感悟：
剛剛結束的一星期的實踐活動，領略了3位教師的課堂教學風采，不同的理念，不同的設計思路讓我真實感受到她們的扎實的基本功，同時也為我下一步的發展指明了方向。課堂教學是一個“仁者見仁，智者見智”的話題，在我看來，不同的教師演繹不同的風采，卻展現同樣的精彩。通過聽課讓我學到了很多新的教學方法和新的教學理念。教師沒有利用課本上的例題，而是從學生生活的情景海貝貝沖浪誰最棒作為切入點，用以吸引學生的注意力，同時也密切了數學與現實生活的聯系。在本課中教師通過安排學生動手操作的環節，讓學生通過擺一擺、畫一畫等活動，讓學生在學習中邊學邊練，加深了對所學知識的理解與運用。課堂教學對教師而言，不只是為學生成長所做的付出，不只是別人交付任務的完成，他同時也是我們自身生命價值的體現。讓課堂走進生活，將課堂教學當作學生的生命經歷，自覺地尊重學生，尊重學生的這段經歷，課堂才會顯得樸實而又睿智。在這短短幾天的.時間里，讓我深切體會到優秀的數學課堂是情智共生的課堂，要以情促智，以智生情，讓學生心靈閘門不斷開啟，讓學生智慧的火花不斷點燃。評課交流可以使人的思考更加廣闊，內容更加豐富。作為一線教師，我想我更應該勇敢地、虛心地、隨時地與其他老師交流，交流教學中的問題與困惑等。通過每次課后的交流產生思想碰撞與思考，解決困惑，從中也讓我獲得很多啟發與收益。
通過這次培訓，讓我深深體會到只有不斷的學習，才能有不斷的提升，對如何做好一名出色的數學教師有了更多的努力目標。我將反思著自己的差距與不足，尋找著自己應該努力的方向，相信本次培訓活動對我今后的教學一定會產生積極而深遠的影響。雖然培訓已結束，但是在培訓過程中我受到的思想振蕩將伴隨我今后的教學生涯。
初中數學培訓總結14
一直以來，在試卷講評課的上法上總存在著一些困惑。例如，試卷上的錯題因人而異，如何上能照顧到全體，將每位學生出錯的問題解決？通過這次培訓我認識到，我們沒有足夠的時間面面俱到的講解，在一定的時間內想面面俱到，那么每個題目也只是蜻蜓點水，一節課下來真正沉淀到頭腦中的知識寥寥無幾。今后的試卷講評課我打算按照下面的思路來上，請劉老師多批評指正。
一、考試之后教師要做好測試分析，并充分備課。
通過測試分析，首先,弄清學生集中出錯的題目，找出學生的`共性問題，并針對這些共性的問題展開備課。備課要備學生出錯的原因，試卷講評時如何對這些問題講解與完善。其次，弄清每位學生的得分，對于成績波動大的同學通過談話等方式及時了解情況并幫助解決困難。
二、下發試卷，學生自己糾錯。
給學生自己糾錯的機會，將能自己改正或通過小組合作改正的題目在試卷講評前改過來。
三、訂正答案，進一步改錯。
給學生標準答案，在答案的引導下，學生進一步尋找解題思路，完善解題步驟，查找丟分原因，加深對知識的理解。
四、重點題、錯題重點講解。
經過兩輪的改錯之后學生存留下的問題已經很少，教師試卷講評時就要解決這些遺留問題、重點題、錯題。對于這些問題可以通過分類講解、同類知識串講、變式訓練、一題多解、多個知識點上串下聯等方式講透。經過尋根問底，可使學生對不明確的知識點加深理解，再認識，然后鞏固練習。這個過程下來同時可復習到多個知識點，建立知識體系，拓展學生思維。
五、方法總結。
圍繞一個知識點講解之后，要讓學生總結解題思想、方法，掌握答題技巧。需要時可讓學生簡記。
六、解答疑問。
通過學生提出疑問，大家共同解答，完善學生對知識的認識。
近幾年教基礎年級，所以感覺上章節復習課較多，專題復習課很少。我們學校的章節復習課與劉老師的“出示問題，引出知識”是一致的。通過問題的解決實現知識點的復習。
通過聽兩位韓老師的課我感覺有幾處大的收獲：
一、要想實現高效課堂，教師首先高效備課。從兩位老師對題目的選取上能看到她們備課的用心。值得學習。
二、充分放手給學生，讓學生思考、解決問題、總結方法。教師適時點撥。
三、重要知識點、思想、方法及時簡記。“好腦子不如爛筆頭”，的確如此。根據艾賓浩斯的遺忘規律，一節課下來學到的知識點總在慢慢遺忘，如果課堂上不把關鍵點記錄下來的話，回過頭來復習時頭腦中的知識漏洞難以得到修繕。
通過這次學習我感覺收獲很大，希望劉老師多組織類似活動幫助年輕教師成長。同時對于這次培訓的膚淺認識希望劉老師多批評指正。謝謝！
初中數學培訓總結15
數”的產生成為人類文明發展的一個重要的標志。人類從識別事物多寡的原始的數覺能力，到抽象的“數”概念的形成，經歷了一個緩慢漸進的過程。
第一次擴充：分數的引進；第二次擴充：0的引進；第三次擴充：負數的引進；第四次擴充：無理數的引進；第五次擴充：復數的引進。
從原有數集擴充到新數集所遵循的原則：原數集是擴充后新數集的真子集；原數集定義的元素間的關系和運算在新數集中同樣地被定義；原數集中的元素在新數集中定義的運算結果與在原數集中的運算結果一致，且基本運算律保持；在原數集中不能施行或不能完全施行的某種運算，在新數集中能夠施行；新數集是滿足上述四條的數集中的最小數集。擴充方法：一種是把新引進的數加到已建立的數系中而擴充。另一種是從理論上創造一個集合，即通過定義等價類來建立新數系，然后指出新數系的一個部分集合與以前數，一種新的數，也就實現了數系的一次擴張。引入了負數，就實現了這個數系關于加減運算的自封閉。
有理數有一種簡單的幾何解釋在一條水平的直線上，確定一段線段為單位長度，把它的左、右端點分別標設為0和1。正整數在0的右邊，負整數在0的左邊。對于分母q的有理數，就可以用把單位區間q等分的那些分點表示。每一個有理數都可以找到數軸上的一點與之對應。
無理數的引入正方形的邊長和對角線不可公度。實現了數系的又一次擴張，可以滿足數學上開方運算的需要，實現了實數系關于加減運算的封閉性。戴德金闡述了有理數的有序性、稠密性和戴德金分割。戴德金分割是指,每個有理數都將全部有理數分為兩類，使得第一類中每個數都小于第二類中的任一個數，這個分類的有理數可以算在兩類的任何一類中。利用這個分割法可以得到無理數的定義。
所建立的數系是同構的。
自然數的兩大基本理論：基數理論和序數理論
基數理論當我們把所有表示數量的符號放在一起就得到了一個集合，我們稱之為“數集”，為了度量“數集”當中表示數量的符號個數，我們首先要定義一個概念就是“基數”。19世紀中葉，數學家康托以集合理論為基礎提出了自然數的基數理論。等價集合的共同特征稱為基數。對于有限集合來說，基數就是元素的個數。自然數就有有限集合A的基數叫做自然數。記作“”。當集合是有限集時，該集合的基數就是自然數。空集的基數就是0。而一切自然數組成的集合，我們稱之為自然數集，記為N。
序數理論皮亞諾1889年建立了自然數的序數理論，進而完全確立了數系的理論。是根據一個集合里某些元素之間有“后繼”這一基本關系和五條公理（皮亞諾公理），把自然數集里的元素按1、2、……這樣一種基本關系而完全確定下來。
定義非空集合N中的元素叫做自然數,如果N的元素之間有一個基本關系“后繼”(b后繼于a,記為b=a′)，并滿足下列公理：
（1）0∈N；
（2）0不是N中任何元素的后繼元素；
（3）對N中任何元素a，有唯一的a′∈N；
（4）對N中任何元素a，如果a≠0，那么，a必后繼于N中某一元素b；
（5）（歸納公理）如果MN，而且滿足條件:①0∈M；②若a∈M，則a′∈M.那么，M=N這樣，所構成的系統稱為皮亞諾公理系統，它就是自然數系。
自然數0是作為空集的標記。在空集中，“0”作為記數法中的空位，在位置制記數中是不可缺少的。
自然數系所蘊含的思想
對應思想（可數的集合）自然數建立在對應概念之上，而且對應的思想也成為自然數的一個重要性質。一一對應關系是集合論中建立兩個集合“相等”關系的一個重要概念。（導致了俗稱“理發師悖論”的羅素悖論的發現）德國策梅羅提出七條公理，建立了一種不會產生悖論的集合論，后又經過德國弗芝克爾改進形成了一個無矛盾的集合論公理系統（ZF公理系統）。數位思想
位置制記數法，就是運用少量的符號，通過它們不同個數的排列，以表示不同的數。用十個記號來表示一切的數，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值。十進位位置制記數之產生于中國，是與算籌的使用與籌算制度的演進分不開的。
負數的數學含義至少包括如下幾個方面：+a與-a表示一對相反意義的量。引入負
數學符號有兩種重要屬性：抽象性和形象性。數學符號的意義在于：有了數學符號，才使得抽象的數學概念有了具體的表現形式，才使得具有一般意義的推理和運算、抽象的數學思維能以直觀的、簡約的形式表現出來。
字母代表數代數，原意就是指“文字代表數”的學問。使得許多算術問題可以轉換為代數方程問題求解。根本的內涵是“未知數的符號x可以和數一樣進行四則運算。文字代表數的真正價值在于：字母能夠和數字一起進行四則運算和乘方、開方，進行指數、對數、三角等運算，乃至對字母進行微分、積分運算等等。
解析式數字、字母、運算符號按照一定規律有意義地結合而成的符號組合。解析式中的字母可以有不同的含義不同的含義不影響它基本運算規律和變形規則。解析式可以區分為兩大類：一類是只含有代數運算的解析式叫代數式，沒有開方運算的代數式稱為有理式，否則稱為無理式；沒有除法運算的有理式稱為整式，否則稱為分式；沒有加、減運算的整式稱為單項式，否則稱為多項式。另一類是包含初等超越運算的解析式統稱為初等超越式，簡稱超越式。它包括指數式、對數式、三角函數式、反三角函數式。
解析式的恒等變形把一個給定的解析式變換為另一個與它恒等的解析式，叫做解析式的恒等變形。恒等是相對的。式的恒等變形也是可以連寫的，因為它們對一切數，代入式都相等。但是，解方程時的同解變形，不是恒等變形，。代數式數學的符號語言
代數式是在數系基礎上發展起來的。在初等代數中，所涉及的運算可分為兩大類：1代數運算2初等超越運算：指數是無理數的乘方、對數、三角、反三角運算。
定義，在一個解析式中，如果對字母只進行有限次代數運算，那么這個解析式就稱為代數式；如果對字母進行了有限次的初等超越運算，那么這個解析式就稱為初等超越式，簡稱超越式。還可以進一步分類：只含有加、減、乘、除、指數為整數的乘方運算的代數式稱為有理式；其余的代數式稱為無理式；在有理式中，只含有加、減、乘運算稱為整式（或多項式），其余的有理式稱為分式。
“數”發展到“式”的意義導致了運算形式化、程序化及規則的公理化，包含了計算對象擴大化，即數系的擴大化問題。將抽象的符號運算應用到更一般的對象上，開辟了構造數學的新方向，為抽象代數學的發展埋下了伏筆，成為近代數學的顯著特征。
數學符號具有重要的屬性一是它的抽象性。符號代表了事物本質的特征，從而具有代表性和一般性。另一個重要的屬性在于它的形象性。數學符號不但精確地表示數學抽象，而且是抽象內涵的簡約形象。等式和方程
（一）方程的含義“含有未知數的等式叫方程”。這個定義簡單明了，為大家所習用。不過，這個定義有不足。“方程是為了尋求未知數，在未知數和已知數之間建立起來的等式關系。”把方程的核心價值提出來了，即為了尋求未知數。
判斷一個代數式等式是否是方程就是看等式中的字母是否是待求的未知數。方程的概念一般用于兩個領域：“求某個未知數的數”和“曲線與方程”在這兩個領域中“方程”的概念本身并沒有變化，而是研究的問題有所不同。前者的目的在于求方程的解，而后者則希望研究的是這些解的分布情況。方程解的個數（或解集的大小）與方程的存在域的大小有直接關系。
方程的分類依照方程解的個數分，可將方程分為無解方程（矛盾方程）、有唯一解、有多個解、有無窮多個解和全體實數解等。方程按照它所含有的未知數的個數來分類：集。兩個不等式的解集相同，則稱這兩個不等式是同解的。
不等式有三個基本性質：1不等式兩邊同時加或減去同一個整式，不等號方向不變，2不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個大于0的整式，不等號方向不變3不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個小于0的整式，不等號方向改變。不等式的實際應用在運動變化過程中，如果用函數模型刻畫運動變化的兩個變量x、y之間的關系，那么.方程模型刻畫的是x、y變化過程中某一瞬間的情況，而不等式模型刻畫的是變化過程中x、y之間的大小關系，是更普遍存在的狀態。不等式尤其在解決“最值”問題上具有廣泛的應用。不等式蘊含的思想
（一）模型思想與相等現象相比，不等現象是現實世界中更為普遍的現象，不等式是一元方程、二元方程、多元方程等。
方程借助用字母表示數的代數思想，將未知數同已知數一起描述問題的代數表達形式，形成了方程的基本思想。
方程思想具有很豐富的含義，其核心體現在：一是模型思想，二是化歸思想。學習方程內容最主要的事情集中在兩個方面。一方面是建模，另一方面是會解方程。關于方程建模大自然的許多客觀規律都表現為量與量之間的某種關系，將它表示出來往往就是一個方程式。初中方程的教學不能過分地停留在數學層面上必須使學生真正體會到數學與現實生活密不可分的聯系。體會方程是一種用數學符號提煉現實生活中的特定關系的過程。必須學會抽象將關系抽象為數學符號。
方程設計思想的思路先進行生活中的提煉，然后到數學表達，到形式化的方程，再到最終解決方程問題。
初中數學方程的常見解法：換元法、因式分解法、圖像法、求根公式法。
等式與方程的關系建立方程是借助等式作為其上位概念來完成的。方程是一種特殊的等式，是在說明相等是怎么回事，等式可以是數字之間的相等，可以是恒等，而方程刻畫的可以是兩件事情之間的相等，可以是有條件的相等，也可以使一種隨機的相等。不等式
學習的意義不等式可以表示一種界限，本身就是一種規律。其次，研究不等式可以導致等式。最后，不等式在幾何上可以表示一個區域。
不等關系與相等關系既是矛盾獨立的，也是相互統一的。不等關系往往可以等價地轉化為相等關系加以解決。
不等式的含義兩個實數或代數式用符號連接起來的所得到的式子叫做不等式。如果不論用什么實數代替不等式中的字母，它都能夠成立，這樣的不等式叫絕對不等式，如果只用某些范圍內的實數代替不等式中的字母，它才能夠成立，這樣的不等式叫條件不等式。如果不論用什么樣的實數值代替不等式中的字母，不等式都不能成立，這樣的不等式叫矛盾不等式。當不等號兩邊的解析式都是代數式時，稱為代數不等式；兩邊的解析式至少有一個是超越式時，稱為超越不等式。不等式解集表示方法
不等式所有解的集合，叫做解集。求不等式解集的過程叫解不等式。不等式組中每一個不等式解集的交集叫做不等式組的解集。
一個不等式的解集表示方法1數軸表示法即在數軸上把不等式的解集表示出來。2集合表示法即用集合來表示不等式的解集。3區間表示法即用區間來表示不等式的解
刻畫不等現象的有力模型。通過分析實際問題中的數量關系，列出不等式，通過解不等式得到實際問題的答案，這就體現了不等式的模型思想。同時，這種模型經常與函數、方程聯系在一起，三者都是刻畫現實世界中量與量之間變化規律的重要模型，在解決實際問題時，要合理選擇這三種重要的數學模型。（二）辯證思想通過c=a-b的媒介作用，不等式a>b與等式a=b+c建立了一種“等價”關系。這是一種辯證關系。恰當地運用這種思想可以輕松地化解相當多的問題。（三）數形結合思想根據題意可列出不等式組，運用數軸表示不等式組的解集，可以直觀形象地解決問題。這種思想正是數形結合思想。函數
函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型。
1755年，歐拉首次給出了函數變量定義：“如果某些變量，以這樣一種方式依賴于另一些變量，即當后面的變量變化時，前者的這些量也隨之變化，則將前面的變量稱之為后一些變量的函數。”由此演變為目前的函數的“變量說”黎曼在1851定義：“我們假定z是一個變量，如果對它的每一個值，都有未知量W的每一個值與之對應，則稱W是Z的函數。”。1939年，布爾巴基學派主借用了笛卡兒積建立關系，進而定義函數：
1）對
中每一個元素
，存在
，使
；
（2）若且，則。函數記作：”分別稱以上函數定義為變量說、對應說和關系說。函數概念的核心思想
數學的核心是研究關系，即數量關系、圖形關系和隨機關系。函數研究的是兩個變量之間的數量關系：一個變量的取值發生了變化，另一個變量的取值也發生變化，這就是函數表達的數量之間的對應關系。其中有三點是重要的，一是變量的取值是實數；二是因變量的取值是唯一的；三是必須借助數字以外的符號表示函數。函數的表達方式一般有三種：解析式法，表格法，圖像法。
解析式是最常用的方法，適用于表示連續函數或者分段函數。解析式有利于研究函數性質，構建數學模型，但對初學者來說也是抽象的。列表法適用于表達變量取值是離散的情況。利用圖像法可以直觀地表述函數的形態，有利于分析函數的性質，但作圖是比較困難的，用何種方法表達函數可因題而議。中學數學研究的函數性質
數學中研究函數主要是研究函數的變化特征。中學階段主要研究函數的周期性，也涉及
奇偶性；在高中階段主要研究函數的單調性、周期性，也討論某些函數的奇偶性。（一）函數的周期性周期性反映了函數變化周而復始的規律。是中學階段學習函數的一個基本的性質。周期函數是刻畫周期變化的基本函數模型，使我們集中研究函數在一個周期里的變化，了解函數在整個定義域內的變化情況。
（二）函數的奇偶性函數的奇偶性也是我們在中學階段學習函數時要研究的函數的性質，但它不是最基本的性質。奇偶性反應了函數圖形的對稱性質，可以幫助我們用對稱思想來研究函數的變化規律。
（三）函數的單調性單調性是討論函數“變化”的一個最基本的性質。從幾何的角度看，就是研究函數圖像走勢的變化規律。函數與其它內容的聯系
（一）函數與方程用函數的觀點看待方程可以把方程的根看成函數與x軸交點的橫坐．解析幾何的產生與發展
笛卡爾提出了平面坐標系的概念，實現了點與數對的對應，將圓錐曲線用含有兩面三刀個求知數的方程來表示，并且形成了一系列全新的理論與方法，解析幾何就這樣產生了。現代幾何的產生與發展
人們不斷發現《幾何原本》在邏輯上不夠嚴密之處，在嘗試用其他公理、公設證明第五公設“的失敗，促使人們重新考察幾何學的邏輯基礎，并取得了兩方面的突出研究成果。初中數學課程中的幾何學內容
（一）直觀幾何幾何學是其中研究“形”的分支。幾何圖形可以直觀地表示出來，人們認識圖形的初級階段，主要依靠形象思維。“形象思維”也就是強調幾何直觀。
（二）演繹幾何幾何圖形本身具有抽象性和一般性，一種幾何概念可能包含無限多種不同的情形，因此，研究圖形的形狀、大小和位置關系時，不能僅僅依靠直觀實驗的方法，標，即零點的橫坐標。方程可看作函數的局部性質，求方程的根就變成了求函數圖形與x軸的交點問題。
（二）函數與數列數列是特殊的函數。它的定義域一般是指非負的正整數集，有時也可以為自然數集，或者自然數集的子集。數列通常稱為離散函數。等差數列是線性函數的離散化，而等比數列是指數函數的離散化。
（三）函數與不等式我們首先確定函數圖像與x軸的交點（方程f(x)=0的解），再根據函數的圖像來求解不等式。
（四）函數與線性規劃是最優化問題的一部分，從函數的觀點看，首先，要確定目標函數，用目標函數來刻畫“好、壞”或“大、小”等，接著，需要確定目標函數的可行域。最后，討論目標函數在可行域（由約束條件確定的定義域）內的最值問題。
解線性規劃問題，可歸結為以下算法：第一步，確定目標函數；第二步，確定目標函數的可行域；第三步，確定目標函數在可行域內的最值。函數模型
函數是對現實世界數量關系的抽象，是建立思想模型的基礎，具有良好的普適性和代表意義。現實生活中，普遍存在著最優化問題----最佳投資、最小成本等，常常歸結為函數的最值問題，通過建立相應的目標函數，確定變量的限制條件，運用函數建模的思想進行解決。在運用一次函數知識和方法建模解決時，有時要涉及到多種方案，通過比較，從中挑選出最佳的方案。
在實際的教學中，除了使學生了解所學習的函數在現實生活中有豐富的“原型”之外，還應通過實例介紹或讓學生通過運算來體驗函數模型的多樣性。
通過實例，讓學生體會、感受數據擬合在預測、規劃等方面的重要作用，使學生們學會用數學的知識、思想方法、數學模型解決實際問題，提高運用數學的能力．要鼓勵學生收集一些社會生活中普遍使用的函數模型的實例進行探索實踐．第二章圖形與幾何四個基本階段。
實驗幾何的形成和發展
人們在觀察、實踐、實驗的基礎上積累了豐富的幾何經驗，形成了一批粗略的概念，反映了某些經驗事實之間的聯系，形成了實驗幾何。理論幾何的形成和發展
柏拉圖把邏輯學的思想方法引入幾何學，確立縝密的定義和明晰的公理作為幾何學的基礎，歐幾里德按照嚴密的邏輯系統編寫的《幾何原本》奠定了理論幾何的基礎。而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括邏輯推理。
以一些原始概念和公理為出發點，逐步對一些幾何概念做比較邏輯化的描述，進行一些基本推理和論證。雖然也借助直觀和少量代數公理，但是，主要立足邏輯進行幾何概念及其性質的分析研究，這就是演繹幾何。
（三）度量幾何對一些圖形進行度量，包括長度，面積，體積，角度等，適當的延伸。（四）變換幾何也叫運動幾何。這個領域主要討論平移、旋轉、反射等剛體運動，以及相似變換、拓撲變換，并借以研究圖形的全等、對稱等概念，了解變換之下的不變量。（五）坐標幾何即解析幾何。在解析幾何中，首先是建立坐標系。坐標系將幾何對象和數、幾何關系和函數之間建立了密切的聯系，這樣就可以對空間形式的研究歸結成比較成熟也容易駕馭的數量關系的研究了。
經驗幾何所謂經驗幾何，通常是直觀幾何、實驗幾何的通稱，它特別關注學生幾何活動經驗的積累，以及幾何直覺的發展。經驗幾何的作用
幾何學是研究現實世界物體的形狀、大小和位置關系的學科,而后發展成為研究一般空間結構、圖形關系的學科。
（一）經驗幾何則是發現幾何命題和定理的有效工具，在培養人的直覺思維和創造性思維方面起著重大的作用，而論證幾何在培養人的邏輯思維能力方面起著重要作用。（二）經驗幾何是學習推理論證幾何的必要前提。
學習的內容是由非形式化的推理逐漸提升到形式化的推理，透過直觀幾何與實驗幾何的充分學習，對幾何對象的熟悉及非形式化的推理，達到知覺性的了解、操作性的了解，進而形成幾何推理。
另一方面，我們用來作為推理基礎的幾何性質，一部分是利用實驗歸納的方法得來的，另一部分則是利用已知的幾何性質進行“推論”而導出的結果。
（三）實驗幾何是幾何學習的一個階段和一種認知水平，更是一種幾何學習方法。總之，實驗幾何作為幾何學習的一個階段，在學生幾何學習過程中起到承上啟下的銜接作用；同時，實驗幾何是貫穿從直觀幾何到論證幾何學習的一種有益于發現真理、幾何直觀幾何直觀具有發現功能，同時也是理解數學的有效渠道。數學概念經過多級抽象充分形式化后，有必要以相對直觀可信的數學對象為基礎進行理性重建，從而達到思維直觀化的理想目標和可應用性要求,這要求數學的直觀與形式的統一，才使得數學的完美。
幾何直觀及其作用《數學課程標準》（修訂稿）指出，幾何直觀主要是指利用圖形描述
和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。
幾何直觀對于學生的數學發展非常重要：
首先，幾何直觀是一種創造性思維，是一種很重要的科學研究方式，在科學發現過程中起到不可磨滅的作用。對于數學中的很多問題，靈感往往來自于幾何直觀。數學家總是力求把他們研究的問題盡量變成可借用的幾何直觀問題，使他們成為數學發現的向導，隨著現代科技的發展，幾何直觀在計算機圖形學、圖象處理、圖象控制等領域都有誘人的前景。
其次，幾何直觀是認識論問題，是認識的基礎,有助于學生對數學的理解。
借助于幾何直觀、幾何解釋，能啟迪思路,可以幫助我們理解和接受抽象的內容和方法，抽象觀念、形式化語言的直觀背景和幾何形象，都為學生創造了一個自己主動思考一般地，周長指封閉曲線一周的長度。（二）面積
物體的表面是一個二維的圖形，直觀地感覺它所占有的區域具有一定的大小，對一個二維圖形的表面進行度量以后，用一個“數”標志它的大小，稱這個數為該圖形的面積。人們約定，將邊長為1米的正方形的面積規定為1平方米。
于是，對于邊長為整數a米、b米的矩形，總可以將其剖分為若干個邊長為1米的正方形，進而，這個矩形就由ab個單位正方形組成，從而，這個矩形的面積為ab平方米（整數）。如果矩形的邊長A，B是無理數，而且仍用邊長為1的正方形去度量，那么，還要使用極限過程，用一列有理數逼近無理數，an→A,bn→B。依據anbn→AB，以及有理數邊長的矩形面積公式，最后得出，矩形的面積也是AB。
這個過程實際上論證了“邊長相等的兩個矩形的面積的比，等于它們不相等邊的長度的的機會，揭示經驗的策略，創設不同的數學情景，使學生從洞察和想象的內部源泉入手，通過自主探索、發現和再創造，經歷反思性循環，體驗和感受數學發現的過程；使學生從非形式化的、算法的、直覺相互作用與矛盾中形成數學觀。
最后，幾何直觀是揭示現代數學本質的有力工具，有助于形成科學正確的世界觀和方法論。借助幾何直觀，揭示研究對象的性質和關系，使思維很容易轉向更高級更抽象的空間形式，使學生體驗數學創造性工作歷程，能夠開發學生的創造激情，形成良好的思維品質。
直觀幾何主要包含哪些內容
以大量豐富的實例為背景，通過觀察、操作來探索認識基本圖形的性質。這些基本圖形主要包括點、線、面、角、平行線、相交線、三角形四邊形、圓等，除此之外，還包括尺規作圖、視圖和投影等。這些內容構成直觀幾何的重要組成部分。經驗幾何的具體研究內容
初中幾何的主要課程教學目標在于，“積累幾何活動經驗，發展幾何直觀、空間觀念，進一步感受幾何推理的魅力，體會幾何的美，初步掌握幾何推理的基本形式”，而發展幾何直觀、積累幾何活動經驗、培養空間觀念，則是經驗幾何的核心目標。按照初中階段的經驗幾何認識過程的不同，通常可以將經驗幾何的學習內容，分成認識圖形、進行立體圖形與平面圖形的轉換、在運動與變換中研究幾何圖形的有關性質三部分。度量幾何幾何學起源于圖形大小的度量。根據圖形的維數，把度量一維圖形大小的數稱為長度，而將二維圖形的大小用面積來表示，體積則是標志三維圖形大小的數。線段長度是一切度量的出發點。
長度的含義線段“兩端之間的距離”。所謂距離。羅蘭德（Rowland）首先使用光柵測量一公尺長度中的波長數。1960年以后，用激光定義“米”。
目前，國際上采用的長度單位，是在1983年10月確定的，即第十七屆國際權度大會重新把國際標準制（SI）中的長度單位──“米（meter）”定義為：光于299,792,458分之1秒內在真空中所走的長度，稱為“米”。
如果可以用一個線段e衡量兩條線段M，N，使得M，N都是e的整數倍，我們稱兩個線段M，N是可公度的。
輾轉相除方法，用后次的an截取前次的an-1，即較長的那個線段減去短的那個線段，如此輾轉截取，直到兩個線段一樣長，這個長度就是公度量。古希臘的畢達哥拉斯學派，發現正方形的邊與其對角線不可公度3.周長“圓、橢圓或其它閉合的曲線的周界長度。”
比”。
海倫-秦九韶公式
劉徽用割圓法求圓面積大膽地將極限思想和無窮小分割引入了數學證明。將圓內接正多邊形的邊數不斷加倍，則它們與圓面積的差越來越小，其極限值就是所要求的圓面積。印度圓取兩個相等的圓，把它們等分成相同的若干個全等扇形，然后把它們沿半徑剖開（但扇形的圓弧仍然連著）、展平成鋸齒條形然后，把兩個鋸齒形互相嵌入即成一個近似的矩形。份數分得愈多，其結果愈接近矩形，這個矩形的高為圓半徑r，底為圓周長c，面積為rc，從而得圓面積為.體積是指物質或物體所占空間的大小。
（1）直接度量法。把一種叫做“單位正方體”的空間圖形盡可能地堆放在要度量的幾何體內，如果被度量的幾何體恰好被a個正方體填滿，那么這個幾何體的體積就等于幾個單位體積。（2）間接度量法。量出被度量的幾何體中某些線段的長度，再利用有關公式計算出這個幾何體的體積。“面積公理”與測度公理
既然圖形是一個集合，而相應的圖形的面積是一個數，所以，面積是定義在“集合族”之上的一個函數。這個集合函數顯然是非負函數，而且正方形的面積是1。當然，兩個不重疊的圖形之并的面積，必須等于兩個圖形的面積之和。最后，如果圖形經過移動、旋轉、反射，其面積應該不變。這些性質放在一起，就成為面積公理的內容。對于周長一定的矩形來說，邊長相等時矩形面積最大，即正方形的面積最大。（2）對于面積一定的矩形來說，邊長相等時矩形周長最小，即正方形的周長最小。事實上，這個結論可以推廣為：在周長相等的情況下，越接近圓的圖形面積就越大，如，第四節變換幾何
變換就是一個集合到另一個集合的映射。幾何變換、變換群的概念
幾何變換，就是將幾何圖形按照某種法則或規律變成另一種幾何圖形的過程。它對于幾何學的研究有重要作用。
變換群。實際上是滿足一定條件的若干變換組成的集合：如果某種幾何變換的全體組成一個群，就有相應的幾何學，而討論在某種幾何變換群下圖形保持不變的性質與不變量，就是相應幾何學的主要內容。
在初等幾何中，變換主要包括全等變換，相似變換，反演變換。
全等變換
如果從平面(空間)到其自身的映射，對于任意兩點A、B和它們的像A/，B/總有A/B/=AB。則這個映射叫做平面（空間）的全等變換，或叫做合同變換。在平面內存在兩種全等變換，第一種叫做正常全等變換第二種叫做反常全等變換（鏡像全等變換）,它把一個圖形變成與它反常全等的圖形,即對于兩個全等的圖形上每兩個對應三角形有相反的方向，并且每兩個對應的有向角有相反的方向。相似變換，第一種叫做真正相似變換（正相似變換），第二種叫做鏡像相似變換（負相似變換）。真正相似變換把一個圖形變換成與它真正相似(正相似)的圖形,即使得兩個相似圖形的每對對應三角形有同一的方向,每對對應角有同一方向。反演變換
在平面內設有一半徑為R，中心為O的圓，對于任一個異于O點的點P，將其變從認知規律看，幾何學習的基本途徑,主要是四步：直觀感知→操作確認→演繹推理→度量計算。
歐幾里得與演繹幾何
公理化方法淵源于幾何學，而幾何學起源于埃及。
希臘數學家歐幾里得編成了《幾何原本》一書。這本書內容豐富，結構嚴謹，對于幾何學的發展和幾何學的教學都起了巨大的作用，它被人們贊譽為歷史上的科學杰作。歐幾里得《原本》，原說有15卷，經后人多方面考證，公認只有13卷。歐幾里得《原本》對于幾何直觀、演繹推理進行處理的利弊得失
《原本》作為教科書使用了兩千多年。在形成文字的教科書之中，無疑它是最成功的。歐幾里得的杰出工作，使以前類似的東西黯然失色。該書問世之后，很快取代了以前的幾何教科書，而后者也就很快在人們的記憶中消失了。在訓練人的邏輯推理思維方面，換成該射線OP上一點P/，且使OP/OP=R，這個變換叫做平面反演變換。圓O叫做反演基圓，圓心O叫做反演中心或反演極，R叫做反演半徑或反演冪，反演變換將過反演中心的射線變成自身，且在此射線上建立對合對應，它使位于圓內的點變成圓外的點,位于圓外的點變成圓內的點，反演中心變成平面內的無限遠點。而反演圓上的點則保持不變。空間反演變換可以看作是平面反演變換繞反演基圓的直徑旋轉而得。反演變換下，將不過反演中心的直線或平面，分別變成過反演中心的圓或球面；將不過反演中心的圓或球面，分別變成另一個不過反演中心的圓或球面。反之，也成立。演變換是反向保角的，即使兩線（或兩面）所成的角度的大小保持不變，但方向相反。合同變換：平移，旋轉，反射平移、旋轉與反射的初步描述
圖形相似的思想方法體現在圖形相似的概念、性質和處理問題的手段之中。我們可以將其歸結為如下五個方面：
（1）圖形相似問題的核心往往在于三角形相似與成比例線段，體現出化歸思想
（2）圖形相似是反映大自然奧秘的一個窗口，圖形相似在自然、社會和人類生活中具有廣泛的普適性。
（3）結構相同，即“同構”，是圖形相似的重要特征之一。相似可以幫助我們從局部來研究整體。
（4）圖形相似提供了認識三角形的另一個途徑，三角形相似的判別方法可以強化我們對三角形構成元素的認識。
（5）借助必要的工具和手段是學好圖形相似的必要前提。平面圖形初等變換之間的關系
（一）平移、旋轉、反射變換是全等變換
（二）平移、旋轉都可以由若干次反射（軸對稱）的復合而得到。
對于平移、旋轉和軸對稱（反射）來說，雖然三者都是全等變換，但是，容易發現，其中，軸對稱（變換）更為基本。
（1）對同一個圖形連續進行兩次軸對稱，如果兩個對稱軸互相平行，那么，這兩次軸對稱的結果等同于一次平移；
（2）對同一個圖形連續進行兩次軸對稱，如果兩個對稱軸相交，那么，這兩次軸對稱的結果等同于一次旋轉，旋轉中心就是兩條對稱軸的交點。反過來，對一個圖形實施一次平移，都可以通過連續的兩次軸對稱來替代完成；對一個圖形實施一次旋轉，可以通過連續的兩次軸對稱來完成。
（3）任意一個合同變換至多可表示為三個反射的乘積。第五節演繹幾何《原本》比亞里土多德的任何一本有關邏輯的著作影響都大得多。在完整的演繹推理結構方面，這是一個十分杰出的典范。正因為如此，自本書問世以來，思想家們為之而傾倒。公正地說，歐幾里得的這本著作是現代科學產生的一個主要因素。科學絕不僅僅是把經過細心觀察的東西和小心概括出來的東西收集在一起而已。科學上的偉大成就，就其原因而言，一方面是將經驗同試驗進行結合；另一方面，需要細心的分析和演繹推理。可以肯定地說，這并非偶然。毫無疑問，像牛頓、加利略、白尼和凱普勒這樣的卓越人物所起的作用是極為重要的。也許一些基本的原因，可以解釋為什么這些出類拔革的人物都出現在歐洲，而不是東方。或許，使歐洲人易于理解科學的一個明顯的歷史因素，是希臘的理性主義以及從希臘人那里流傳下來的數學知識。對于歐洲人來講，只要有了幾個基本的物理原理，其他都可以由此推演而來的想法似乎是很自然的事。因為在他們之前有歐里得作為典范。
歐幾里得對牛頓的影響尤為明顯。牛頓的《數學原理》一書，就是按照類似于《原本》的“幾何學”的形式寫成的。自那以后，許多西方的科學家都效仿歐幾里得，說明他們的結論是如何從最初的幾個假設邏輯地推導出來的。許多數學家，像伯莎德羅素、阿爾弗雷德懷特海，以及一些哲學家，如斯賓諾莎也都如此。同中國進行比較，情況尤為令人矚目。多少個世紀以來，中國在技術方面一直領先于歐洲。但是，從來沒有出現一個可以同歐幾里得對應的中國數學家。其結果是，中國從未擁有過歐洲人那樣的數學理論體系（中國人對實際的幾何知識理解得不錯，但他們的幾何知識從未被提高到演繹體系的高度）。直到1600年，歐幾里得才被介紹到中國來。此后，又用了幾個世紀的時間，他的演繹幾何體系才在受過教育的中國人之中普遍知曉。
如今，數學家們已經認識到，歐幾里得的幾何學并不是能夠設計出來的惟一的一種內在統一的幾何體系。在過去的150年間，人們已經創立出許多非歐幾里得幾何體系。自從愛因斯坦的廣義相對論被接受以來，人們的`確已經認識到，在實際的宇宙之中，歐幾里得的幾何學并非總是正確的。便如，在黑洞和中子星的周圍，引力場極為強烈。在這種情況下，歐幾里得的幾何學無法準確地描述宇宙的情況。但是，這些情況是相當特殊的。在大多數情況下，歐幾里得的幾何學可以給出十分近似于現實世界的結論。不管怎樣，人類知識的這些最新進展都不會水削弱歐幾里得學術成就的光芒。也不會因此貶低他在數學發展和建立現代科學必不可少的邏輯框架方面的歷史重要性。愛因斯坦更是認為，“如果歐幾里得未激發你少年時代的科學熱情，那你肯定不是天才科學家。”由此可見，《原本》一書對人類科學思維的影響是何等巨大。
從數學教育的角度看，歐幾里得的邏輯結構是串聯型而不是放射型的，《原本》的每一節都那么重要，一節學不好，繼續前進的路就斷了，更令人頭痛的是它沒有提供一套強有力的、通用的解題方法。主要解題工具是三角形的全等和相似，而許多幾何圖形中不包含全等或相似三角形，因此，往往要作輔助線，從而幾何被公認為難學的一門課程。值得一提的是，歐式幾何幾乎是歷次中外數學課程教學改革的焦點。《原本》幾乎包括了中小學所學習的平面幾何、立體幾何的全部內容。如此古老的幾何內容，自然成了歷次數學課程改革關注的焦點。其中，最為激進的，如法國布爾巴基學派主要人物狄奧東尼，甚至喊出了“歐幾里得滾出去”的口號。但是，改來改去，歐幾里得幾何的一些內容，仍然構成了多數國家中小學數學幾何部分的主要內容。有人稱之為“不倒翁現象”。這是因為，歐氏幾何從數學的視角，提供了現實世界的一個基本模型，非常直觀地反映了我們人類的生存空間，刻畫了我們視覺所觀察到的物體形狀及其相互位置關系。所以，這個模型的基本內容是學生能夠理解和掌握的，而且應用廣泛的基礎知識。它比三種幾何的關系
歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區別的幾何。這三中幾何各自所有的命題都構成了一個嚴密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨立性。因此，這三種幾何都是正確的。在我們這個不大不小、不遠不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實際；在地球表面研究航海、航空等實際問題中，黎曼幾何更準確一些。
義務教育階段幾何課程內容的基本定位義務教育階段幾何課程設計的特點簡析義務教育階段幾何課程設計的特點與以往的綜合幾何課程設計風格相比，《數學課程標準》下的幾何已經將直觀幾何和實驗幾何的觸角伸向了小學低年級，同時歐氏幾何的體系和內容整體上還是基本保留的。只不過，具體的要求有所降低了，這種降低一方面體現在對推理幾何的難度要求有所限較適合中小學生學習，也有利于引導中小學生從形的角度去認識我們周圍的物體和生活空間。
盡管歐氏幾何仍然具有難以替代的學習價值，但在以往的教學中，它又確實逐步暴露出一些問題，例如，內容體系比較封閉，脫離實際，教學代價太大等等。①這些問題需要數學課程的設計者與數學教學的實踐者共同去面對、去解決。一條途徑是教學法方面的改進。首先是內容的精簡與演繹體系的通俗化。如精選一些具有實用價值和對繼續學習發揮基礎作用的內容，打破封閉的公理體系，擴大公理系統，降低證明難度等等。其次是突出幾何事實與幾何應用，重視幾何直觀，以及合情推理對于演繹推理的互補作用等非形式化策略。另一條途徑是，用近現代數學的觀點，高屋建瓴地處理傳統的內容。其中幾何圖形的運動變換觀點就是這樣的重要觀點之一。
從國際上數學課程改革的歷程來看，第二次世界大戰以后，特別是在上世紀60年代的“新數學”改革的浪潮中，將運動觀點引入幾何，成了一種時尚。確實，圖形的變換是研究幾何問題的有效工具，引進變換能使圖形動起來，有助于發現圖形的幾何性質。相關的許多實驗，有的因觀點太高而失敗，但也有許多成功的嘗試。特別是平移、旋轉以及軸對稱、中心對稱等觀念已被不少國家的中小學教材所吸收，并放在比較重要的位置。如果說，集合與對應思想的滲透，在某種意義上給傳統算術與代數注入了新的血液，那么，運動變換觀點的滲透，則在一定程度上給歐氏幾何提供了更高的數學觀點和更新的研究視野。
對第五公設是否獨立的研究導致了非歐幾何的發現。
非歐幾何，即非歐幾里得幾何，是一門大的數學分支，一般來講，它有廣義、狹義、通常意義這三個方面的不同含義。廣義式泛指一切和歐幾里得幾何不同的幾何學，狹義的非歐幾何只是指羅氏幾何來說的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。羅巴切夫斯基幾何
家羅巴切夫斯基發現非歐幾何--羅氏幾何為止，肯定了第五公設與歐氏系統的其余公理是獨立無關的。黎曼幾何
歐氏幾何與羅氏幾何中關于結合公理、順序公理、連續公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。在同一平面內任何兩條直線都有公共點(交點)。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在，它的另一條公設講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經過適當“改進”的球面。制，另一方面體現在，弱化了相似形和圓的證明部分。同時，弱化了的部分也還會在高中繼續出現。
新理念下義務教育階段幾何課程設計的突出特點體現為：以“立體平面立體”為主要線索，強調與學生生活的聯系；適當地拓寬活動領域，包括圖形的認識，圖形的變換，圖形與位置等方面；以實際操作、測量、簡單推理為具體處理方式，強調學生的直觀體驗學習的方法；注重發展的空間觀念，發展對圖形的審美能力；強調幾何真理的發現和幾何論證并舉，主張建立在幾何直觀和豐富幾何活動經驗基礎之上的幾何推理的學習。
幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學習中，而且在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。
推理能力的發展應貫穿在整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結果。演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）出發，按照規定的法則證明（包括邏輯和運算）結論。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發現結論；演繹推理用于證明結論的正確性。
直觀幾何、實驗幾何課程設計特點與綜合幾何的差異
與綜合幾何相比，直觀幾何、實驗幾何有著更現實的意義和課程設計的特色：
1．不同的課程目標和價值取向
從課程設計的角度看，直觀幾何與實驗幾何更接近于認知發展取向的課程設計模式，而綜合幾何屬于典型的學術主義價值取向的課程設計模式。
2．不同的教育學、心理學基礎和不同的師生關系
以論證為主的綜合幾何課程設計，立足于行為主義心理學，主張師生之間建立“以教為主、以教促學”的師生關系。相比之下，直觀幾何、實驗幾何課程設計觀認為，有意義的幾何教學應當建立在學生的主觀意愿和知識、經驗基礎之上，依賴學生的動手實踐、自主探索和交流合作，教師在教學中的角色應該定位在學習的組織者、引導者和合作者、參與者，注意學生在學習中所處的不同文化環境、教室文化、社區文化、家庭文化及自身思維模式的共性與差異，師生之間、學生之間應該努力構建一種和諧、互動的新關系。
3．不同的課程設計風格
在課程論中，課程有學科型課程與經驗型課程之分。除了學科型課程和經驗型課程外，大多數課程介于兩者之間。直觀幾何、實驗幾何屬于典型的經驗型課程，而綜合幾何屬于典型的學科型課程。當前，我國實行的義務教育課程標準實驗教科書大多介于學科型課程與經驗型課程之間，只不過，有的更靠近后者，即比較“前衛”，而有的更靠近前者，“中規中矩”。
4．不同的教學要求
在直觀幾何、實驗幾何課程實施過程中，學生的直觀感受和幾何活動經驗是學習的基本出發點和必不可少的載體，而且直觀教學變得十分重要。在這種課程設計時，有的是在抽象的學科主線中不斷閃現出內容豐富的情景問題，有的是把豐富的情景問題沿幾何的主線逐步鑲嵌與展開。幾何學是研究平面圖形的形狀、大小和位置關系的科學，培養和提高學生識圖、作圖能力是學好幾何的必要環節。因而，在直觀幾何、實驗幾何課程設計模式下，采用直觀教學至關重要，可使學生一開始便進入到直觀教學所創設的情盡管全國初中數學課程標準實驗教科書彼此之間都有差異，但是，發展幾何直觀與推理
能力是普遍趨勢。第三章統計與概率
準確理解數學、概率、統計之間的關系
（一）研究問題的出發點不同數學研究的對象是從現實生活中抽象出來的數和圖形。數學研究問題必須有定義，即數學研究問題的出發點是定義，沒有定義無法進行數學的研究。統計研究所依賴的是模型，構建一些模型的基礎上進行研究。但是，統計與數學有著密切的聯系，我們拿來數學的很多知識、思想方法作為統計分析的工具。
（二）研究問題的立論基礎不同從數量和數量關系這個角度考慮，數學是建立在概念和符號的基礎上的。而統計學是建立在數據和模型的基礎上，雖然概念和符號對于統計學的發展也是重要的，但是統計學在本質上是通過數據和模型進行推斷的。
境之中，耳濡目染，受到感染，教師若采用圖片直觀，便可展現情景，給學生以鮮明生動的形象，學生的注意力很快被吸引到圖片所展示的情境中。如何理解初中幾何及推理
新理念下義務教育階段幾何課程設計的突出特點體現為：以“立體平面立體”為主要線索，強調與學生生活的聯系；適當地拓寬活動領域，包括圖形的認識，圖形的變換，圖形與位置等方面；以實際操作、測量、簡單推理為具體處理方式，強調學生的直觀體驗（幾何課與實際活動課有天然的聯系）學習的方法（即“操作”+“推理”）；注重發展的空間觀念，發展對圖形的審美能力；強調幾何真理的發現和幾何論證并舉，主張建立在幾何直觀和豐富幾何活動經驗基礎之上的幾何推理的學習。
初中階段屬于從直觀幾何、實驗幾何逐步過渡到綜合幾何、論證幾何的關鍵階段，七年級仍是直觀幾何、實驗幾何，但包含一點點說理，而九年級已經是綜合幾何、推理幾何，雖然其公理體系與歐式公理體系有所不同。
在義務教育數學課程標準下，“圖形與幾何”主要內容有：空間和平面基本圖形的認識，圖形的性質、分類和度量；圖形的平移、旋轉、軸對稱、相似和投影；平面圖形基本性質的證明；運用坐標描述圖形的位置和運動。
在“圖形與幾何”的核心課程教學在于：幫助學生建立空間觀念，注重培養學生的幾何直觀與推理能力。
如何理解初中幾何的核心目標發展幾何直觀與推理能力
在“圖形與幾何”的教學中，應幫助學生建立空間觀念，注重培養學生的幾何直觀與推理能力。空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言描述畫出圖形等。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學習中，而且在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。推理能力的發展應貫穿在整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結果。演繹推理是從已有的事實出發，按照規定的法則證明結論。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發現結論；演繹推理用于證明結論的正確性。基于此，《數學課程標準》把認識或把握空間與圖形作為主旋律，以圖形的認識、圖形與變換、圖形與位置（坐標）、圖形與證明四條線索展開空間與圖形的內容。
（三）研究問題的方法不同與概念和符號相對應，數學的推理依賴的是公理和假設，是一個從一般到特殊的方法，而統計學的推斷依賴的是數據和數據產生的背景，強調根據背景尋找合適的推斷方法，是一個從特殊到一般的方法。
（四）研究問題的判斷原則不同數學在本質上是確定性的，它對結果的判斷標準是對與錯，從這個意義上說，數學是一門科學，而統計學是通過數據來推斷數據產生的背景，即便是同樣的數據，也允許人們根據自己的理解提出不同的推斷方法，給出不同的推斷結果，統計學對結果的判斷標準是好與壞，從這個意義上說，統計學不僅是一門科學，也是一門藝術。
數理統計方法的基本步驟建立數學模型，收集整理數據，進行統計推斷、預測和決策。當然，這些環節不能截然分開，也不一定按上述次序，有時是互相交錯的。
（1）模型的選擇和建立。模型是指關于所研究總體的某種假定，一般是給總體分布規定一定的類型。建立模型要依據概率的知識、所研究問題的專業知識、以往的經驗以及從總體中抽取的樣本。
（2）數據的收集。其方法主要包括全面觀測、抽樣觀測和安排特定的實驗3種方式。全面觀測又稱普查，即對總體中每個個體都加以觀測，測定所需要的指標。抽樣觀測又稱抽查，是指從總體中抽取一部分，測定其有關的指標值。這方面的研究內容構成數理統計的一個分支學科。叫抽樣調查。
（3）安排特定實驗以收集數據，這些特定的實驗要有代表性，并使所得數據便于進行分析。
（4）數據整理。目的是把包含在數據中的有用信息提取出來。一種形式是制定適當的圖表，如散點圖，以反映隱含在數據中的粗略的規律性或一般趨勢。另一種形式是計算若干數字特征，以刻畫樣本某些方面的性質，如樣本均值、樣本方差等簡單描述性統計量。
（5）統計推斷。指根據總體模型以及由總體中抽出的樣本，做出有關總體分布的某種論斷。數據的收集和整理是進行統計推斷的必要準備，統計推斷是數理統計學的主要任務。
（6）統計預測。統計預測的對象，是隨機變量在未來某個時刻所取的值，或設想在某種條件下對該變量進行觀測時將取的值。
（7）統計決策。依據所做的統計推斷或預測，并考慮到行動的后果而制定的一種行動方案。初中統計與概率的課程內容主要內容包括：
描述統計的進一步擴展----描述統計的基本目標在于以最簡單而直觀的形式最大限度地容納有用的數據。
滲透數理統計思想----數理統計與描述統計的根本區別在于總體與樣本概念的引入，它的基本思想是通過對樣本的分析來推斷總體的特性。這部分的一個核心的內容是抽樣，如何抽樣、抽樣的過程、樣本的多少是收集數據的一個關鍵問題。學習概率的初步內容-----包括運用列表、畫樹狀圖、制作面積模型、簡單計算等方法得到一些事件發生的概率；通過實驗，獲得事件發生的頻率；知道大量重復實驗時頻率可作為事件發生概率的估計值；通過大量豐富的實例，進一步豐富對概率的認識，并能解決一些實際的問題。
普查：為了一定的目的而對考察對象進行的全面調查，稱為普查.總體：所考察對象的全體稱為總體。個體：組成總體的每一個考察對象稱為個體。抽樣調查：從總體中抽取部分個體進行調查，這種調查稱為抽樣調查。樣本：從總體中抽取部分個體叫做總體的一個樣本。樣本容量：樣本中個體的數量叫樣本容量。隨機事件和樣本空間
在一定條件實現后，可能產生也可能不產生的現象，人們稱之為隨機現象。具備以下三個特點的試驗稱為隨機試驗：
信息。眾數只與其在數據中重復的次數有關，而且往往不是唯一的。但不能充分利用所有的數據信息，而且當各個數據的重復次數大致相等時，眾數往往沒有特別的意義。數據的離散程度
極差是指一組數據中的最大值減去最小值所得的差。它可以反映一組數據的變化范圍。方差是指一組數據中的平均數與每一個數據之差的平方和的平均數。
樣本數據的方差和標準差都是衡量一個樣本波動大小的量，樣本方差或樣本標準差越大，樣本數據的波動就越大。加權平均數的概念
加權平均數是不同比重數據的平均數，加權平均數就是把原始數據按照合理的比例來計算，即一組數據的每個數乘以它的權重后所得積的總和。平均數稱之為算術平均數，是加權平均數的一種特殊情況，加權平均數包含算術平均數，
(1)可在相同條件下重復進行；
〔2)每次試驗可出現不同的結果，最終出現哪種結果，試驗之前不能確定；
(3)事先知道試驗可能出現的全部結果。隨機事件隨機試驗的每一個可能的結果稱為一個隨機事件
樣本空間由樣本空間的子集可描述隨機試驗中所對應的一切隨機事件。數據的收集
數據收集方法有兩種：調查和實驗。在現實生活中原來就有的數據，人們通過調查獲得，例如，普查，即為一特定目的而對所有考察對象的全面調查；抽樣調查，即為一特定目的而對部分考察對象作調查。三種常用抽樣方法是：隨機抽樣法、分層抽樣法和系統抽樣法。
數據的隨機性主要有兩層涵義：
一方面，對于同樣的事情，每次收集到的數據可能會是不同的；
另一方面，只要有足夠的數據就可能從中發現規律。數據的整理和分析
數據分析觀念主要體現在三個方面：
第一，了解在現實生活中有許多問題應當先做調查研究，收集數據，通過分析作出判斷，體會數據中是蘊含著信息的；
第二，了解對于同樣的數據可以用多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法；
第三，通過數據分析體驗隨機性。
理解兩種估計方法，一種是用樣本的頻率分布來估計總體的分布，另一種是用樣本的集中趨勢（平均數、中位數、眾數）和離散程度（極差、方差、標準差）來估計總體的集中程度和離散程度。頻數和頻率
我們稱每個對象出現的次數為頻數，也稱次數。頻數也稱“次數”，對總數據按某種標準進行分組，統計出各個組內含個體的個數。而頻率則每個小組的頻數與數據總數的比值。數據的集中趨勢在統計學中是指一組數據向某一中心值靠攏的程度，它反映了一組數據中心點的位置所在。反映數據集中趨勢的度量包括平均數、中位數、眾數等。平均數一組數據的平均數就是用這組數據的總和除以這組數據的總個數得到的值。中位數，就是將這組數據從小到達排列后，位于正中間的數（或中間兩個數的平均數）。眾數，是指一組數據的眾數就是這組數據中出現頻數最多的數。平均數、中位數和眾數的聯系與區別
聯系：從不同角度描述了一組數據的集中趨勢。區別：計算平均數時，所有數據都參加運算，它能充分利用數據所提供的信息，但容易受極端值的影響。它應用最為廣泛。中位數的優點是計算簡單，只與其在數據中的位置有關。但不能充分利用所有的數據當加權平均數中的權相等時，就是算術平均數。
統計表不僅反映某一類事物的具體數據，而且還能說明有關數據之間的關系。統計圖是借助于幾何線、形(線段、長方形、三角形、圓形等)以及事物的形象等形式，顯示收集到的數據信息，直觀地反映其規模、水平、構成、相互關系、發展變化趨勢和分布狀況，即是根據統計數據所繪制的圖形。條形圖是以簡單的幾何圖形，即等寬條形的長短或高低來比較數據所隱含信息的統計圖示法分為單式條形圖、復式條形圖、分段條形圖、對稱條形圖、距限條形圖、累積條形圖等。
直方圖有兩種，頻數直方圖和頻率直方圖。頻數直方圖與頻率直方圖既有聯系，又有區別。
扇形圖用圓和扇形分別表示關于總體和各個組成部分數據的統計圖叫做扇形統計圖。扇形圖能直觀地、生動地反映各部分在總體中所占的比例。
扇形統計圖具有四個特點：
一是利用圓和扇形來表示總體和部分的關系，
二是圓代表總體，各個扇形分別表示總體中不同的部分；
三是扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，
四是各個扇形所占的百分比之和為1；最后，在不同的統計圖中，不能簡單地根據百分比的大小來比較部分量的大小。折線統計圖
用一個單位長度表示一定的數量，根據數量的多少描出各點，然后把各點用線段順次連接起來，折線統計圖不但可以表示出數量的多少，還能夠清楚地表示出數量的增減變化情況，并且可以進行簡單的預測。折線統計圖可分為單式折線圖或復式折線圖。統計是對隨機現象統計規律歸納的研究，而概率是對隨機現象統計規律演繹的研究，在解決實際問題時，二者是相輔相成、互相關聯的
隨機事件的概率，實質上是指在客觀世界中，這個事件發生可能性大小的一個數量刻畫。
概率的定義
頻率是指事件發生的次數在全部試驗次數中占的比例，所以頻率能夠反映該事件發生的可能性大小。即一般地，在大量重復進行同一試驗時，事件A發生的頻率總是趨近某個常數，在它附近擺動，這時就把這個常數叫做事件A的概率，記作P(A).概率的公理化定義樣本點全集叫做必然事件，空集叫做不可能事件。正確理解隨機性與概率
（1）隨機性和規律性。
（2）概率和機會。從某種意義說來，概率描述了某件事
情發生的機會
（3）有些概率是無法精確推斷的。
（4）有些概率是可以估計的。隨機結果也具有規律，而且有可能通過試驗等方法來推測其規律。我們就是要通過觀測數據，在隨機性中尋找用概率和數學模型描述的規律性
小概率原理是統計檢驗（統計中的反證法）的基礎和依據。小概率原理是指在一次試驗中，小概率事件幾乎不可能發生。《數學課程標準》認為，“統計與概率”應當是初中課程內容的重要組成部分。不僅如此，《數學課程標準》將“統計與概率”內容從第一學段連續編排到初中，并且規定，在初中，學生將從事數據的收集、整理與描述的過程，體會抽樣的必要性以及用樣本估計總體的思想，進一步學習描述數據的方法，進一步體會概率的意義，能計算簡單事件發生的概率。《大綱》沒有涉及“概率”內容，僅僅在初中階段引入“統計初步”，并且將“統計初步”放入“代數的第（十三）部分”在《大綱》中，“統計初步”的定位是：使學生了解統計的展這一活動，有以下幾個步驟：
第一，學生觀察一件物體或一種現象，或者操作某些學具。
第二，學生在研究所觀察的物體或現象的過程中進行思考，與同伴進行討論和交流，以彌補他們在單純的觀察和操作活動中的不足。
第三，老師按一定的順序給學生們推薦活動，學生可從中作出選擇并實施這些活動，學生在選擇中有較強的自主性。
第四，這一活動可以以課內外相結合的形式進行，學生每周至少花兩個小時進行同一個主題的活動，并應保證這些活動在整個學習進程中的持續性和穩定性。
第五，每個學生都記錄活動過程。通過這一活動，學生逐漸學會操作，同時加強和鞏固口頭和書面表達能力，發展解決問題的能力，增進對數學的理解力。如何理解數學研究性學習
思想，掌握一些常用的數據處理方法，能夠用統計的初步知識解決一些簡單的實際問題。簡單的平均數和加權平均數
所謂加權平均數，是指各個數據的“份量”不同，有的重要些，有的輕些，將它們的重要性用“權重”表示，即加上各個數據在全體數據中占有的比例（頻率）再作和。數學期望的定義事前預期的好處，就叫做這件事情的期望值。第四章實踐與綜合
設置“實踐與綜合”領域目的在于體現其橋梁作用（即，數學不同領域之間的橋梁作用以及數學與外部之間橋梁作用）和綜合價值，綜合運用數學知識、技能、思想、方法等解決現實問題，幫助學生積累直接的數學活動經驗，發展學生的綜合能力。關于“實踐與綜合”的教育價值和課程目標
教育價值實踐與綜合領域的存在，溝通了現實世界中的數學與課堂上的數學之間的聯系。另一方面，綜合應用數學解決問題也必將給學生的學習方式帶來改變。使學生發展了意志力、自信心和不斷質疑的態度，發展了運用數學進行思考和交流的能力。
課程目標《全日制義務教育數學課程標準》對這個領域的課程設計提出了的總的要求：幫助學生綜合運用已有的知識和經驗，經過自主探索和合作交流，解決與生活經驗密切聯系的、具有一定挑戰性和綜合性的問題，以發展他們解決問題的能力，加深對“數與代數”、“圖形與幾何”、“統計與概率”內容的理解，體會各部分內容之間的聯系。“實踐與綜合”在不同階段不同的呈現形式第一學段以“實踐活動”為主題，第二學段以“綜合應用”為主題，第三學段(即初中階段)以“課題學習”為主題。
在初中數學中，課題學習的主要形式有三種基本方式：
數學小調查。數學小調查是指學生在教師指導下，從學習生活和社會生活中選擇和確定調查專題，主動獲得信息、分析信息并做出決策的學習活動。數學調查可以包括三個階段，第一，進入問題情境階段；第二，收集信息的階段；第三，表達和交流階段。這種活動具有開放性、問題性和社會性的特點。
小課題研究。活動基本過程如下：各小組確定活動目標；根據目標確定本組活動內容；在老師指導下實際調查。合作交流。
動手做(Handson)的活動。意思是動手活動，目的在于讓學生以更科學的方法學習知識，尤其強調對學生學習方法、思維方法、學習態度的培養。基本過程是：提出問題動手做實驗觀察記錄解釋討論得出結論表達陳述。具體地說，開
數學研究性學習主要針對我國中學教育中出現的若干弊端，為實施以創新精神和實踐能力為重點的素質教育而提出來的，其根本目的是讓學生親歷研究過程，獲得對客觀世界的體驗和正確認識，通過自由、自主的探究過程，綜合性地提高整體素質和能力。因此，研究性學習的重點在“學習”，研究是手段、途徑，而不是目的。數學研究性學習的內涵
以培養學生的數學創新意識和實踐能力為目的，它主要通過與數學學科內容相關的課題，在教師的指導下，學生為主體地參與、體驗問題提出和解決的全過程。使學生不但發展了思維能力，而且逐漸領悟到數學科學研究的基本過程和方法，提高學生的科數學研究性學習的目的
1.讓學生經歷科學研究的過程，獲得親身參與研究和探索的體驗。
2.了解科學研究的方法，提高發現問題和解決問題的能力。
3.學會與人溝通和合作，學會分享。合作的意識和能力，是現代人所應具備的基本素質，而研究性學習提供了一個有利于人際溝通與合作的良好空間。
4.增強探究和創新意識，培養科學態度、科學精神和科學道德。在研究性學習的過程中，學生不可避免地會遇到一系列的問題和困難，學生必須學會從實際出發，通過認真踏實地探究，事實求是地得出結論，并且養成尊重他人的想法和成果的正確態度，同時培養不斷追求的進取精神、嚴謹的科學態度、克服困難的意志品質等。
5.培養學生對社會的責任心和使命感形成積極的人生態度。
6.促進學生學習，掌握和運用一種現代學習方式。
7.激活各科學習中的知識儲備，嘗試相關知識的綜合運用。8.促進教師教學觀念和教學行為的變化，提升教師的綜合素質，培養學生創新精神和實踐能力，推進素質教育的全面實施。
初中數學研究性學習主題分為建模探究型、圖表探究型、調查探究型、開放探究型四種類型。
（1）建模探究型：以學生動手操作、合作探討、設計制作模型為主，教師給予指導、總結、評價。
（2）圖表探究型：以學生觀察、分析數學圖表、探究解決問題的方法為主，教師提示結合相關知識分析、探究、解決問題。例如，數學圖表的制作：“制作人口圖”。
（3）開放探究型：以學生自主分析、小組討論交流、大膽猜想、探究論證為主，教師給予必要的概括、提升和拓展。例如，趣味數學問題：猜想、證明、拓廣。
（4）調查探究型：以學生調查實踐、自主分析、探究實踐的方式和方法為主，教師適時引導、提示、總結。數學研究性學習的特點
1.探究性。探究是人類認識世界的一種基本方式，處于基礎教育階段的初中生對外部
世界仍充滿強烈的新奇感和探究欲，數學研究性學習正好適應學習者個體發展的需要和認識規律。
2.全員參與性。研究性學習主張全體學生的積極參與，它有別于培養天才兒童的超常教育。全員參與的另一層含義是共同參與。研究性學習的組織形式是獨立學習與合作學習的結合，其中合作學習占有重要的地位。
3.開放性。數學研究性學習是一種開放性、參與性的教學形式，為了研究有關生活中的數學問題或從數學角度對其它學科中出現的問題進行研究。
4.過程性。要求學生把自己所得出的結論運用到現實生活中去，解決現實生活中涉及到的數學問題，強調學生參與的過程。
5.應用性。學以致用是研究性學習的又一基本特征。研究性學習重在知識技能的應用，而不在于掌握知識的量。
6.體驗性。研究性學習不僅重視學習過程中的理性認識，如方法的掌握、能力的提高等，還十分重視感性認識，即學習的體驗。數學研究性學習的實施保持和進一步提高學習數學的積極性。
（3）在實施過程中，要采取有效的手段對學習活動進行監控；指導學生寫好研究數學日記，及時記載研究情況，真實記錄個體體驗，為以后進行和評價提供依據。
（4）要爭取家長和社會有關方面的關心、理解和參與，與學生一起開發對實施研究性學習有價值的校內外教育資源，為學生開展研究性學習提供良好條件。
（5）能夠根據學校與班級實施研究性學習的不同目標定位和主客觀條件，在不同時段選擇不同的切入口，形成不同年級的操作特點。
數學模型一般是指由數字、字母或其它數學符號組成的，描述現實對象(原型)數量規律和空間特征的數學結構。數學模型可以敘述為：對于現實世界的一個特定對象，為了實施要求：
①全員參與，而非只關注少數數學尖子學生競爭，給每個學生有鍛煉與參與的機會；
②任務驅動。要向學生提出有明確具體要求的任務，發揮它對學生學習過程的引導作用；
③重在學習過程而非研究的結果；
④重在知識技能的應用而非掌握知識的數量；
⑤重在親身參與探索性實踐活動，獲得感悟和體驗，而非一般地接受別人傳授的經驗；
⑥形式上靈活多樣，強調課內外結合。數學研究性學習模式有三種：
（1）理論實踐模式。是指師生在共同學習研究性學習理論的基礎上，學生運用數學理論來研究、解決數學問題，體驗研究性學習課程理論的價值，提高綜合能力的一種教學模式。
（2）數學問題探討模式。師生圍繞數學問題的分析與探討展開的教學活動，構成了問題探討教學模式。其基本理念在于：以激勵、強化學生在教學過程中的主體參與意識為著眼點，以幫助學生學會學習，學會發現和分析問題，培養學生創造性解決問題的能力為宗旨，創設一種開放而又活潑的學習氛圍。其教學策略是：將問題或案例呈現給學生，引導學生共同探討，構建師生平等、互動的學習環境。
一般來說，教師要選擇典型的數學問題或案例，不可平鋪直敘地搬給學生，而要創造性地加以取舍，主動設疑，引導學生學會思考，提高學生的學習數學能力。
（3）數學課題研究模式。數學課題研究模式是指教師提供課題或由學生根據興趣設計研究課題，并在教師的指導下自主探索、實施研究計劃、完成課題目標、提高社會實踐能力的一種教學模式。
組織形式有三種類型：小組合作研究、個人獨立研究、全班集體研究。其中一致認為小組合作研究是最基本、最有效、經常被采用的一種組織形式。數學研究性學習實施的一般程序
一般可以分為三個階段：
（1）進入問題情境階段（準備階段）。主要任務是背景知識的準備；指導學生確定數學研究課題；組織課程小組、制定研究方案。
（2）實踐體驗階段（實施階段）。本階段學生要進入具體的解決問題過程。
（3）表達交流階段（結題階段）。學生將自己或小組經過實踐、體驗所取得的收獲進行歸納整理、總結提煉，形成書面或口頭報告材料，得出結論，并進行成果交流和總結反思。數學研究性學習實施中的教師指導
（1）在初中不同的學段和年級，教師的指導工作內容和方法應該有所不同。
（2）在數學研究性學習實施過程中，教師要及時了解學生開展活動的情況，有針對性地進行指導、點撥；要組織靈活多樣的交流、研討活動，促進學生自我教育，幫助他們
一個特定目的，根據特有的內在規律，做出一些必要的簡化假設后，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。數學建模教學的目
使學生體會數學與自然及人類社會的密切聯系，體會數學的應用價值，培養數學的應用意識，增進對數學的理解和應用數學的信心；使學生學會運用數學的思維方式去觀察、分析現實社會，去解決日常生活中的問題，進而形成勇于探索、勇于創新的科學精神；使學生學會以數學建模為手段，激發學習數學的積極性，團結合作，建立良好的人際關系、相互合作的工作能力；以數學建模方法為載體，使學生獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學事實以及基本的思想方法和必要的應用技能。數學建模的教學意義
1.培養學生合作學習的能力合作能力是信息社會中每個人必須具備的基本素質。
2.培養學生處理信息的能力數學建模活動則為學生學習如何選擇信息、獲取信息和加工信息提供了一個有效的途徑。
3.有利于學生形成正確的數學觀數學建模活動的開展使學生形成正確的數學觀成為可能。
4.有利于學生體驗數學與生活、數學與其它學科的聯系
5.激發學生的數學學習興趣
6.發展學生的創新意識數學建模的具體實施1.選題
鼓勵學生自主提出問題，可以從以下幾個方面人手：
①讓學生了解選題的重要性和基本要求，
②指導學生結合自己的生活經驗尋找課題，也可由教師介紹往屆學生的選題并加以點評，或者請本班同學介紹自己的選題計劃，教師和學生一起分析其可行性，
③教師創設一個問題環境，引導學生自主提出問題、確定課題。這時教師的指導應該是有啟發性的，不要代替學生確定課題，而是啟發學生自己去延展、開拓問題鏈，讓學生自己提出要解決的問題和解決問題的方案。
2.實施
在課題學習的實施中，我們強調開放學生的思維，強化過程體驗，師生和生生的情感交流和成果共享。
3.指導
在課題學習中，教師如何指導學生，這是一個令不少教師感到困惑甚至苦惱的問題。課題學習過程中，問題形式與內容的變化，問題解決方法的多樣性、新奇性，問題解決過程的不確定性，結果呈現層次的豐富性，無疑是對參與者創造力的一種激發、挑戰和有效的鍛煉。教師在陌生的問題面前感到困難，失去相對于學生的優勢是自然的、常常出現的。
4.評價
評價過程具體涉及以下幾個方面：
①調查、求解的過程和結果要合理、清楚、簡捷；
②要有自己獨到的思考和發現；
③能夠恰當地使用工具(如網絡和計算工具)；
④采用合理、簡捷的算法；
⑤提出有價值的求解設計和有見地的新問題；
⑥發揮每個組員的特長，合作學習得有效果。5.建立和擴張資源
對教育資源的認識應該走出靜態的誤區，要看到身邊許多動態的教育教學資源。此外，通過查找相關的刊物和網站也可以發現大批的可用資源。我們還應有意識地建立自己個性化的信息資源庫，它包括：前幾屆學生做的課題成果，如論文、研究報告、程序、制作的作品，以及活動過程的照片、研究課的錄音或錄像、其它學校學生的優秀成果等。生和發展而成。這種抽象可以脫離具體的實物模型，形成一種具有層次性的體系。形式化使用特定的數學符號來表示數學概念，使概念形式化。邏輯化在一個特定的數學體系中，孤立的數學概念是不存在的，它們之間往往存在著某種關系；這些關系稱之為數學概念的邏輯關系。這種邏輯關系使得數學概念系統化、公理化。簡明化數學概念具有高度的抽象性，借助數學符號語言，使得一定事物的本質簡明的形式表現出來，這種簡明化使人們在較短時間內領會。概念的外延與內涵
概念反映了事物的本質屬性，也就反映了具有這種本質屬性的事物。
一個概念所反映的對象的總和，稱為這個概念的外延是指適合這個概念的一切對象，即符合這一概念所有對象的集合。換言之，是指這個概念的延用范圍。一個概念所反映的對象的本質屬性的總和稱為這個概念的內涵。概念的內涵是說一個概念所反映的事物培養學生的數學應用意識、數學應用能力
實際教學中要強調學生的自主探索、合作交流和操作實踐等學習方式。
（1）充分發揮學生的主體性。在學習過程中，教師可以向學生推薦活動，讓學生在選擇中有較強的自主性；同時，讓學生獨立思考和合作交流，在此基礎上教師進行有針對性的指導。
（2）強凋學生學習方法、思維方法、學習態度的養成，關注學生的學習過程。課題學習活動強調學生主動學習，不宜強調對知識的學習，而且更重要的是強調學生對學習方法、思維方法、學習態度的養成。
（3）創設恰當的問題情景，鼓勵學生思考方法的多樣化。在課題學習活動過程中，教師應當鼓勵與尊重學生的獨立思考，引導學生進行討論與交流，培養學生良好的思考習慣和合作意識。鼓勵算法多樣化，對培養學生的創新意識與創新思維是十分必要的。
（4）對課題學習的評價應該以質的評價為主。一般說來，對學生實踐與綜合應用活動的評價要強調過程性評價。重點在于促進學生創新精神的培養和實踐能力的提高，具備與人溝通及有良好的人際交往能力。而不是把學生貼上優秀、良好、不及格的標簽。數學研究性學習的評價對建立學生發展性評價有哪些有益的啟示
（1）研究性學習評價更重視過程。研究性學習評價學生研究成果的價值取向重點是學生的參與研究過程。
（2）研究性學習評價更重視理解中的應用。強調的是學生把學到的基礎知識、掌握的基本技能，應用到實際問題的提出和解決中去既促進學生對知識價值的反思，又加深對知識內涵理解和掌握，形成知識的網絡和結構。3）研究性學習評價強調學生在探究過程中的體驗。
（4）研究性學習評價更重視全員參與。研究性學習的價值取向強調每個學生都有充分學習的潛能，為他們進行不同層次的研究性學習提供了可能性，也為個別化的評價方式創造了條件。第五章初中數學的邏輯基礎
客觀事物都有各自的許多性質，或者稱為屬性。經過比較、分析、綜合、概括，抽象出一種事物所獨有而其它事物所不具有的屬性，稱為這種事物的本質屬性。反映事物本質屬性的思維形式叫做概念。數學研究的對象是現實世界的空間形式和數量關系。反映數學對象的本質屬性的思維形式叫做數學概念。數學概念具有抽象化、形式化等鮮明的特點。
抽象化數學概念反映一類事物在數量關系和空間形式方面的本質屬性。有些可以直接從客觀事物的空間形式和數量關系反映得來，而大多數概念排除對象具體的物質內容，抽象出內在的、本質的屬性，甚至在已有數學概念的基礎上，經過多級的抽象過程才產的本質屬性。
概念的內涵和外延之間相互依存，二者是一對矛盾，共處于統一體的概念之中。它們之間有著相互依存、相互制約的關系。概念反映了事物的本質屬性，也就反映了具有這種本質屬性的事物。一個概念所反映的對象的總和，稱為這個概念的外延。一個概念所反映的對象的本質屬性的總和稱為這個概念的內涵。一個概念的內涵和外延分別從質和量兩個方面刻劃了這個概念，每個概念都是其內涵與外延的統一體．概念的內涵嚴格確定了概念的外延，反之，概念的外延完全確定了概念的內涵。概念的外延和內涵是主觀對客觀的認識，由于人們對客觀事物的認識是發展變化的，概念的外延和內涵必然相應地發生變化，但是在發展變化的過程中有其相對的穩定性．在數學科學體系的確定的階段，每一個數學概念的外延和內涵都是確定的，二者是相互確定的。初中數學概念的特點
1、初中數學概念并非都是通過定義給出的
2.初中數學概念的層次性數學概念本身具有層次性。
3.數學概念是理想概念
4.數學概念是“過程”與“對象”的統一體數學概念之間的關系
1.同一關系兩個外延完全相同的概念之間的關系，叫做同一關系。同一關系，敘述上常用連接詞“即”、“就是”等表示。在一個判斷過程中，具有同一關系的兩個概念可以互相代替。
2.交叉關系兩個外延部分相同的概念之間的關系，叫做交叉關系.敘述上常用“有的”、“有些”等表示。
3.從屬關系兩個外延具有包含關系的概念之間的關系，叫做從屬關系。其中外延范圍大的概念A叫做上位概念或種概念，外延范圍小的概念B叫做下位概念或類概念。4.矛盾關系兩個概念的外延互相排斥，但外延之和等于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個概念之間的關系，叫做矛盾關系。
5.對立關系兩個概念的外延互相排斥，但外延之和小于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個概念之間的關系，叫做對立關系。
把一個屬概念分成若干個種概念，揭示概念外延的邏輯方法叫做概念的劃分。在數學中常用劃分把概念系統化。正確的劃分應符合下列條件：
第一，所分成的種概念之間應是全異關系，即任兩個種概念的外延的交集應是空集；第二，劃分應是相稱的，即是說所分成的全異種概念的外延的并集等于屬概念的外延；第三，每次劃分都應按照同一個標準進行。在一次劃分中用不同的根據就造成了混亂；第四，劃分不應越級。應把屬概念分為最鄰近的種概念
數學概念的定義與要求
定義是建立概念的邏輯方法人們在認識事物的過程中，經過抽象，形成概念，就要借助語言或符號，加以明確、固定和傳遞，這就要給概念下定義。定義的功能是為了明確討論問題的對象。常常是在抽象出事物的本質屬性之后，運用邏輯的方法和精練的語言或符號揭示出對象的本質屬性。常用的定義方法:
1.“種+類差”定義法屬概念加種差定義法就是，用被定義概念最鄰近的屬概念，連同被定義的概念與同一屬概念下其它種概念之間的差別（即種差），來進行定義的方法。2.發生式定義法不直接揭示概念的基本內涵或外延，而是通過指出概念所反映的對象產生的過程，由此來定義概念的方法，叫做發生式定義法。
3.外延定義法這是一種給出概念外延的定義法，又叫歸納定義法。真時，P假；當P假時，P真。
2.選言判斷。選言判斷是由兩個或兩個以上判斷用連接詞“或者”構成的判斷，一般記成AVB，讀作“A或B”。
3.聯言判斷。聯言判斷是用連接詞“且”構成的判斷，表明幾個事物情況都存在，一般記成A∧B，讀作“A且B”。4假言判斷。假言判斷又叫蘊含判斷，它是判斷P為另一判斷Q存在條件的判斷，P、Q分別叫做該假言判斷的前件和后件(或題設和題斷，條件和結論)，一般用“若……，則……”，或“如果……，那么……”的形式表示，記成P→Q。解命題的涵義
關于數學對象及其屬性的判斷叫做數學判斷。判斷要借助于語句，表示判斷的語句叫命題。
4.約定式定義法由于某種特殊的需要，通過約定的方法來定義的。
5．關系定義法這是以事物間的關系作為種差的定義，它指出這種關系是被定義事物所具有而任何其他事物所不具有的特有屬性。
此外，中學數學中還有描述性定義法(如現行中學數學中關于等式、極限的定義)、遞推式定義法(如n階行列式、n階導數、n重積分的定義)，借助另一對象來進行定義(如借助指數概念定義對數概念)等等。定義數學概念的基本要求
1.定義應當相稱。即定義概念的外延與被定義概念的外延必須是相同的，既不能擴大也不能縮小2.定義不能循環。即在同一個科學系統中，不能以A概念來定義B概念，而同時又以B概念來定義A概念。
3.定義應清楚、簡明。定義中列舉的屬性對于揭示概念反映的對象的本質屬性來說應是必不可少的。所謂必不可少是指每一個屬性都是獨立的，不能由列舉出的其它屬性推出。
定義要揭示概念所反映對象的本質屬性，而否定形式一般不能做到這一點。數學概念的形成
數學概念形成是從大量的實際例子出發，經過比較、分類，從中找出一類事物的本質屬性，然后通過具體的例子對所發現的屬性進行檢驗與修正，最后通過概括得到定義并用符號表達出來。
數學概念形成的過程有以下幾個階段：
1.觀察實例。
2.分析共同屬性。分析所觀察實例的屬性，通過比較得出各實例的共同屬性。
3.抽象本質屬性。從上面得出的共同屬性中提出本質屬性的假設。
4.確認本質屬性。通過比較正例和反例檢驗假設。確認本質屬性。
5.概括定義。在驗證假設的基礎上，從具體實例中抽象出本質屬性推廣到一切同類事物，概括出概念的定義。
6.符號表示。
7.具體運用。使新概念與已有認知結構中的相關概念建立起牢固的實質性聯系。把所學的概念納入到相應的概念體系中。
判斷是人們對事物情況有所肯定或否定的比概念高一級的思維形式。判斷是屬于主觀對客觀的認識，因此，判斷有真有假，其真假要由實踐來檢驗，在數學中要進行證明。如實反映事物情況的判斷，叫真判斷；不符合事物情況的判斷，叫假判斷。在一個判斷中，如果不包含其他的判斷，叫做簡單判斷。簡單判斷又分為性質判斷和關系判斷。復合判斷是由兩個或兩個以上的簡單判斷用連接詞構成的判斷。
1.負判斷。負判斷是用連接詞“非”構成的判斷，一般記為┑P，讀作“非P”，當P如何理解命題的分類
所謂性質命題，是指斷定某事物具有（或不具有）某種性質的命題。性質命題由主項、謂項、量項和聯項四部分組成。關系命題關系命題是斷定事物與事物之間關系的命題，關系命題由主項、謂項和量項三部分組成.復合命題命題真值的概念。
對于命題A、B，如果A是一個真命題，我們就說A的真值等于1，記成A=1；如果B是一個假命題，我們就說B的真值等于0，記成B=0。一個命題或真或假，而不能既真又假。因此，一個命題的真值只能是1或0，不能既為1，又為0，或非l又非0。
復合命題的分類
復合命題由于所采用的連接詞不同，可分為下列五種形式。
否定式。給定一個命題A，用連接詞“非”組成一個復合命題“非A”，
析取式。給定兩個命題A與B，用連接詞“或”組成一個復合命題“A或B”，合取式。給定兩個命題A與B，用連接詞“且”組成一個復合命題“A且B”蘊含式。給定兩個命題A與B，用連接詞“若……，則……”組成一個復合命題“若A則B”，記作AB
等值式。給定兩個命題A與B，用連接詞“等值”組成一個復合命題“A等值B”，記作“AB”公理與定理
不加證明而被承認其真實性的命題叫做“公理”。原始概念和公理是組成數學理論的主要基礎。公理雖然不能加以證明，但有其合理性，它是從大量客觀事物與現象中抽象出來的，符合客觀規律。
任何公理體系都必須滿足相容性、完備性和獨立性。相容性是指該體系的各公理之間沒有矛盾。完備性是指該分支的形成除了相應的公理體系外，不依賴于任何別的東西。獨立性是指該體系中各公理是相互獨立的，沒有一個可以由其他公理推出。獨立性對整個公理體系而言，具有錦上添花的作用。
經過證明為真實的命題叫做定理，可由定理直接得出的真命題叫做推論。推論和定理的含義沒有什么本質的區別。一個定理的逆命題、偏逆命題都未必為真，如果證明了是真實的，則分別稱為原定理的“逆定理”、“偏逆定理”。形式邏輯的基本規律
1.同一律：在同一時間、同一地點、同一思維的過程中，所使用的概念和判斷必須確
定，且前后保持一致。公式是：A→A，即A是A。它有兩點具體要求：一是思維的對象應保持同一。二是表示同一事物的概念應保持同一。
2.矛盾律：在同一時間，同一地點，同一思維的過程中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么，即在同一思維過程中的兩個互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假。公式是：A∧A，即A不是A。
3.排中律：在同一時間、同一地點、同一思維的過程中，對同一對象，必須作出明確的肯定或否定的判斷。即在同一思維過程中，兩個互相矛盾的概念或判斷不能同假，必有一真，而排除第三種可能。公式是：A∨，即A或。
排中律和矛盾律既有聯系，又有區別。其聯系在于：它們都是關于兩個互相矛盾的判斷，都指出兩個矛盾判斷不能同時并存，其中必有一個是假。但如何進一步確定誰真誰假，它們本身都無能為力，只有借助其他知識，進行具體分析，才能正確地予以回答。3．演繹推理是一種由
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