平面體系的幾何組成分析
按照機(jī)械運(yùn)動(dòng)及幾何學(xué)的觀點(diǎn)，對(duì)平面結(jié)構(gòu)或體系的組成情況進(jìn)行分析，稱(chēng)為平面體 系的幾何組成分析。
一、名詞定義
(一)剛片和剛片系
不會(huì)產(chǎn)生變形的剛性平面體稱(chēng)為剛片。在體系的幾何組成分析中，不考慮桿件微小的 應(yīng)變，這種不計(jì)應(yīng)變的平面桿件就是剛片，由剛片組成的體系稱(chēng)為剛片系。
(二)幾何可變體系和幾何不變體系
當(dāng)不考慮材料的應(yīng)變時(shí)，體系中各桿的相對(duì)位置或體系的形狀可以改變的體系稱(chēng)為幾 何可變體系。否則，體系就稱(chēng)為幾何不變體系。一般的實(shí)際結(jié)構(gòu)，都必須是幾何不變體系。
(三)自由度、約束和對(duì)象
物體運(yùn)動(dòng)時(shí)的獨(dú)立幾何參數(shù)數(shù)目稱(chēng)為自由度。例如一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)的自由度為2，一個(gè)剛片在平面內(nèi)的自由度為3。
減少體系獨(dú)立運(yùn)動(dòng)參數(shù)的裝置稱(chēng)為約束，被約束的物體稱(chēng)為對(duì)象。使體系減少一個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)參數(shù)的裝置稱(chēng)為一個(gè)約束。例如一根鏈桿相當(dāng)于一個(gè)約束;一個(gè)連接兩個(gè)剛片的單鉸相當(dāng)于二個(gè)約束;一個(gè)連接n個(gè)剛片的復(fù)鉸相當(dāng)于n—1個(gè)單鉸;一個(gè)連接二個(gè)剛片的單剛性節(jié)點(diǎn)相當(dāng)于三個(gè)約束;一個(gè)連接n個(gè)剛片的復(fù)剛性節(jié)點(diǎn)相當(dāng)于n—1個(gè)單剛性節(jié)點(diǎn)。
一個(gè)平面體系的自由度w可按下式確定
W=3n—2H—R
其中n為體系中的剛片總數(shù)，H、R分別為體系中的單鉸總數(shù)和支桿總數(shù)。例如圖1-1所示體系的自由度分別為1和0。自由度大于零的體系一定是幾何可變的。自由度等于零及小于零的體系，可能是幾何不變的也可能是幾何可變的，要根據(jù)體系中的約束布置情況確定。
(a) (b)
圖1-1
(四)必要約束和多余約束
如果在體系中增加一個(gè)約束，體系減少一個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，則此約束稱(chēng)為必要約束。如果在體系中增加一個(gè)約束，體系的獨(dú)立運(yùn)動(dòng)參數(shù)并不減少，則此約束稱(chēng)為多余約束。平面內(nèi)一個(gè)無(wú)鉸的剛性閉合桿(或稱(chēng)單閉合桿)具有三個(gè)多余約束。
(五)等效代替
1.等效剛片
幾何組成分析時(shí)，一個(gè)內(nèi)部幾何不變的平面體系，可用一個(gè)相應(yīng)的剛片來(lái)代替，此剛片稱(chēng)為等效剛片。
2.等效鏈桿
幾何組成分析時(shí)，一根兩端為鉸的非直線形桿件，可用一根相應(yīng)的兩端為鉸的直線形 鏈桿來(lái)代替，此直線形鏈桿稱(chēng)為等效鏈桿。
3.虛鉸
連接兩個(gè)剛片的兩根鏈桿的交叉點(diǎn)或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)稱(chēng)為虛鉸(如圖1-2)。兩根鏈桿對(duì)兩個(gè)剛片運(yùn)動(dòng)的約束效果與相應(yīng)的虛鉸是等效的。
(a) (b)
圖1-2
二、平面體系的幾何組成分析
(一)平面幾何不變體系的基本組成規(guī)則及瞬變體系、常變體系
判定體系是否滿足幾何不變的充分條件是幾何不變體系的基本組成規(guī)則。
1.兩剛片連接規(guī)則
兩個(gè)剛片用不相交于一點(diǎn)或不互相平行的三根鏈桿連接成的體系，是內(nèi)部幾何不變且無(wú)多余約束的體系。
2.三剛片連接規(guī)則
三個(gè)剛片用三個(gè)不在一條直線上的單鉸(虛鉸或?qū)嶃q)兩兩相連而成的體系，是內(nèi)部幾何不變且無(wú)多余約束的`體系。
兩剛片、三剛片連接規(guī)則實(shí)際上是可以相互變換溝通的。
3.兩元片和一元片規(guī)則
由上述兩剛片、三剛片連接規(guī)則可得如下的兩元片和一元片規(guī)則。由兩根不在同一直線上的鏈桿連接一個(gè)新節(jié)點(diǎn)的裝置稱(chēng)為兩元片;由三根不相交于一點(diǎn)的鏈桿連接一個(gè)剛片的裝置稱(chēng)為一元片。在一個(gè)體系上增加或去除兩元片、一元片，不影響原體系的幾何不變性或可變性。
4.瞬變體系和常變體系
只能作微小運(yùn)動(dòng)的體系稱(chēng)為瞬變體系。例如圖1-3所示的體系均為瞬變體系。能作非常微小運(yùn)動(dòng)的體系稱(chēng)為常變體系。如一個(gè)實(shí)鉸連接兩個(gè)剛片的體系及用三根等長(zhǎng)且都平行的鏈桿連接兩個(gè)剛片的體系都是常變體系。
(a) (b) (c)
圖1-3
(二)幾何組成分析例題
[例1-1] 分析圖1-4(a)所示體系的幾何組成。
(a) (b)
圖1-4
[解] 體系的自由度W=3×3-2×2-5=0。根據(jù)兩元片規(guī)則，將地基延伸至固定鉸A、C處，并將地基作為剛片I，將桿件BEFG作為剛片Ⅱ(圖1-4(b))，剛片I和Ⅱ由支座鏈桿B、等效鏈桿AE、CG相連接，這三根鏈桿不相交于一點(diǎn)，體系是幾何不變的，且無(wú)多余約束。
[例1-2] 分析圖1-5(a)所示體系的幾何組成。
(a) (b)
圖1-5
[解] 體系的自由度W=3×10—2×12—6=0。將地基并連同桿件ACG、BFJ作為剛片I、桿件DH、EI作為剛片Ⅱ、Ⅲ(圖1-5(b))，則剛片I、Ⅱ、Ⅲ由三個(gè)虛鉸(IⅡ)、(IⅢ)、(ⅡⅢ)兩兩相連，其中虛鉸(ⅡⅢ)由一組平行鏈桿形成，而虛鉸(IⅡ)、(IⅢ)的連接線平行于形成虛鉸(ⅡⅢ)的兩根平行鏈桿，可視為三虛鉸在同一直線上，體系為瞬變體系。
[例1-3] 分析圖1-6(a)所示體系的幾何組成。
[解] 體系的自由度W=3×8—2×10-4=0。根據(jù)兩元片規(guī)則，將地基延伸至固定鉸A處，并將地基作為剛片I，將CEF作為等效剛片Ⅱ，DB桿作為剛片Ⅲ，這三個(gè)剛片由三個(gè)虛鉸(IⅡ)、(IⅢ)、(ⅡⅢ)兩兩相連，如圖1-6(b)所示。因形成無(wú)窮遠(yuǎn)處的兩個(gè)虛鉸(IⅢ)、(ⅡⅢ)的兩組平行鏈桿不相互平行，故體系是無(wú)多余約束的幾何不變體。
(a) (b)
圖1-6
[例1-4] 分析圖1-7(a)所示體系的幾何組成。
(a) (b)
圖1-7
[解] 體系的自由度W=3×9—2×12—3=0。根據(jù)一元片規(guī)則，去除圖1-7(a)所示體系的一元片，得圖1-7(b)所示體系。再將桿件AB、CE、DF分別作為剛片I、Ⅱ、ⅡⅢ，這三個(gè)剛片由三組平行鏈桿形成的三個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)處的虛鉸(IⅡ)、(IⅢ)、(ⅡⅢ)兩兩相連，根據(jù)三剛片連接規(guī)則，體系為無(wú)多余約束的幾何可變體系(無(wú)窮遠(yuǎn)處的三個(gè)點(diǎn)在一廣義直線上)。
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