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小學(xué)奧數(shù)數(shù)論知識(shí)講解：奇數(shù)偶數(shù)與奇偶性分析
【奇數(shù)和偶數(shù)】
例1 用l、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)兩兩相乘，可以得到10個(gè)不同的乘積。問(wèn)乘積中是偶數(shù)多還是奇數(shù)多?
講析：如果兩個(gè)整數(shù)的積是奇數(shù)，那么這兩個(gè)整數(shù)都必須是奇數(shù)。在這五個(gè)數(shù)中，只有三個(gè)奇數(shù)，兩兩相乘可以得到3個(gè)不同的奇數(shù)積。而偶數(shù)積共有7個(gè)。所以，乘積中是偶數(shù)的多。
例2 有兩組數(shù)，甲組：1、3、5、7、9……、23;乙組：2、4、6、8、10、……24，從甲組任意選一個(gè)數(shù)與乙組任意選出一個(gè)數(shù)相加，能得到______個(gè)不同的和。
講析：甲組有12個(gè)奇數(shù)，乙組有12個(gè)偶數(shù)。甲組中任意一個(gè)數(shù)與乙組中任意一個(gè)數(shù)相加的和，必為奇數(shù)，其中最大是47，最小是3。從3到47不同的奇數(shù)共有23個(gè)。所以，能得到23個(gè)不同的和。本題中，我們不能認(rèn)為12個(gè)奇數(shù)與12個(gè)偶數(shù)任意搭配相加，會(huì)得到12×12=144(個(gè))不同的和。因?yàn)槠渲杏泻芏嗍窍嗤摹?/p>
【奇偶性分析】
例1 某班同學(xué)參加學(xué)校的數(shù)學(xué)競(jìng)賽。試題共50道。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是：答對(duì)一道給3分，不答給1分，答錯(cuò)倒扣1分。請(qǐng)你說(shuō)明：該班同學(xué)得分總和一定是偶數(shù)。
講析：如果50道題都答對(duì)，共可得150分，是一個(gè)偶數(shù)。每答錯(cuò)一道題，就要相差4分，不管答錯(cuò)多少道題，4的倍數(shù)總是偶數(shù)。150減偶數(shù)，差仍然是一個(gè)偶數(shù)。同理，每不答一道題，就相差2分，不管有多少道題不答，2的倍數(shù)總是偶數(shù)，偶數(shù)加偶數(shù)之和為偶數(shù)。所以，全班每個(gè)同學(xué)的分?jǐn)?shù)都是偶數(shù)。則全班同學(xué)的得分之和也一定是個(gè)偶數(shù)。
例2 5只杯子杯口全都朝上。規(guī)定每次翻轉(zhuǎn)4只杯子，經(jīng)過(guò)若干次后，能否使杯口全部朝下?
講析：一只杯口朝上的杯子，要想使杯口朝下，必須翻轉(zhuǎn)奇數(shù)次。要想5只杯口全都朝上的杯子，杯口全都朝下，則翻動(dòng)的總次數(shù)也一定是奇數(shù)次才能辦得到�，F(xiàn)在每次只翻轉(zhuǎn)4只杯子，無(wú)論翻多少回，總次數(shù)一定是偶數(shù)。所以，不能使杯口全部朝下。
例3 某班共有25個(gè)同學(xué)。坐成5行5列的方陣。我們想讓每個(gè)同學(xué)都坐到與他相鄰的座位上去。(指前、后、左、右)，能否做得到?
講析：如圖5.44，為了方便，我們將每一格用A或B表示，也就是與A相鄰的用B表示，與B相鄰的用A表示。要想使每位同學(xué)都坐到相鄰座位上去，也就是說(shuō)坐A座位的同學(xué)都要坐到B座位上去，而坐B座位上的同學(xué)都要坐到A座位上去。但是，A座位共13個(gè)，而B座位共12個(gè)，所以，不管怎樣坐，要想坐A座位的同學(xué)都坐到B座位上去，是辦不到的。
例4 線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)，一個(gè)標(biāo)以紅色，一個(gè)標(biāo)以藍(lán)色。在線段中間插入1991個(gè)分點(diǎn)，每個(gè)分點(diǎn)隨意標(biāo)上紅色或藍(lán)色。這樣分得1992條不重疊的小線段，如果把兩端點(diǎn)顏色不同的小線段叫做標(biāo)準(zhǔn)線段，那么標(biāo)準(zhǔn)線段的條數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)?
講析：每插入一個(gè)點(diǎn)，無(wú)論其顏色怎樣，其非標(biāo)準(zhǔn)線段的條數(shù)增加0條或2條，所以插入1991個(gè)點(diǎn)后，非標(biāo)準(zhǔn)線段增加總數(shù)是一個(gè)偶數(shù)。又原非標(biāo)準(zhǔn)線段條數(shù)為1，是一個(gè)奇數(shù)，故最后得到的非標(biāo)準(zhǔn)線段必為奇數(shù)。非標(biāo)準(zhǔn)線段條數(shù)+標(biāo)準(zhǔn)線段條數(shù)=1992條。所以，標(biāo)準(zhǔn)線段的條數(shù)是奇數(shù)。
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