傅氏變換中的問題探究論文

傅氏變換中的問題探究論文

　　摘 要：求解函數的傅里葉變換是分析信號與線性系統輸入與輸出關系的主要手段之一，靈活地運用傅氏變換對線性網絡進行頻域分析具有重要的作用。本文首先分析了傅氏變換的實質以及其具有的物理意義，然后就傅氏變換的求解過程中經常出現的問題給與了詳細解釋。使得我們在以后的求解過程終能有效地避開關于沖擊項的討論，以簡化求解過程。

　　關鍵詞：傅里葉變換；沖擊函數；微分特性；積分特性

　　1 引言

　　在現代數學中，傅里葉變換有著廣泛的應用，無論是在聲學、數字信號處理方面還是在生物醫學工程甚至核科學的研究上無不發揮著重要的作用，因此正確的求解傅氏變換是科研工作人員所必須具有的基本素質之一。而我們在學習傅氏變換的過程中，有非常容易丟掉一些關于沖擊項的傅氏變換部分，這就使我們不得不尋找一些方法來避免這些成分的丟失。

　　2 傅氏變換理論

　　2.1 傅氏變換的實質

　　對于一些周期函數我們要進行頻譜分析時，常利用傅氏級數對其進行展開，展開公式為：

　　其中。

　　很明顯，周期函數的頻譜特性是離散的。而對于非周期信號來講，可將其周期看做是無窮大，這樣頻譜相鄰譜線間的間隔將無限趨小，譜線無限密集，這也就意味著其頻譜特性是連續的。同時，由于周期無限趨大，復振幅亦無限趨小。于是等式兩邊同乘以，以顯示出各頻率分量的振幅差異。這也就是我們所定義的傅里葉變換。即：

　　從上式我們也可以看出具有單位頻帶振幅的性質。故傅里葉變換實則為的頻譜密度函數。這時我們再討論直流分量的傅里葉變換就不顯得那么困難了，從物理意義上來講直流分量的頻率不存在即為0，那么直流分量的振幅就全部降落在0或者從極限的角度講為，降落在趨近于零的一個非常狹小的區間上，用振幅比上這樣一個狹小的頻帶，可想而知其結果就是一個在零點的沖擊。當然，我們在數學演算時，還要添加一個系數。即：。

　　2.2傅里葉變換的重要性質

　　2.2.1微分特性

　　如果在上連續或只有有限個可去間斷點，且，則

　　推廣式：

　　需要指出的是，此微分性質只是充分的，并不能利用它進行傅里葉變換的反向求解。

　　2.2.2積分特性

　　若，則例1的錯誤原因是由于沒有考慮到微分性質的非必要性。因而遺漏了沖擊項，而此時我們利用上面所給的積分性質，并考慮到

　　可以看到此種解法是正確的。隨著我們學習的深入，逐漸會發現該積分特性仍存在不少缺陷，他只能夠求得某種特定的函數的傅里葉變換，對于一般的函數仍不適用。g1（t），故由導數的頻譜只可直接求得。，則需要計及積分常數的影響，故需尋求統一的公式來完成這類函數求解。

　　3 結論

　　由以上分析可知，當函數無直流分量時，可以利用微分性質加“沖擊法”來求解其傅氏變換，其結果是正確的，但過程仍是錯誤的。如果有直流分量，則傅氏變換后結果中必有沖擊，這時可利用上面通式進行求解。以保證結果不缺少沖擊項。在電子線路中，如果計算中丟失沖擊項，就相當于計算中丟失了直流分量，會對結果造成很大誤差，應予以避免。

　　參考文獻：

　　[1] 張炎生、周玨《“沖擊法""在求函數傅氏變換中的應用》 1996

　　[2] 徐小蓉 《傅里葉變換及其應用》 教育在線 2009

　　[3] 張祥芝等 工程數學教程 中國礦業大學出版社 2008

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