構造函數法在解題中的應用
摘要：函數思想是數學思想的有機組成部分,它在數學解題中的應用越來越廣泛。本文就構造函數這一方法在不等式、數列、方程有解及恒成立問題等方面的應用舉例說明。
關鍵詞：函數思想；構造函數；不等式；方程；應用
函數思想，指運用函數的概念和性質，通過類比聯想轉化合理地構造函數，然后去分析、研究問題，轉化問題并解決問題。因此函數思想的實質是用聯系和變化的觀點提出數學對象，抽象其數量特征，建立函數關系。
函數思想在數學應用中占有重要的地位，應用范圍很廣。函數思想不僅體現在本身就是函數問題的高考試題中，而且對于諸如方程、三角函數、不等式、數列、解析幾何等問題也常常可以通過構造函數來求解。
根據需要，構造輔助函數是高等數學中一種常用的方法，這種方法也已滲透到中學數學中。首先解題中若遇到有關不等式、方程及最值之類問題，設法建立起目標函數，并確定變量的限制條件，用函數的觀點加以分析，常可使問題變得明了，從而易于找到一種科學的解題途徑。其次數量關系是數學中的一種基本關系。現實世界的復雜性決定了數量關系的多元性。因此，如何從多變元的數量關系中選定合適的主變元，從而揭示其中主要的函數關系，有時便成了數學問題能否“明朗化”的關鍵所在。下面我們舉例說明構造函數的方法在解題中的應用。
一、構造函數解決有關不等式的問題
有些不等式證明和比較大小的問題，如能根據其結構特征，構造相應的函數，從函數的單調性或有界性等角度入手，去分析推理，證明過程就會簡潔又明快。
例1：若 ，則 的大小關系是 。
分析：式中各項的結構相同，只是字母不同，故可構造函數 進行判斷。
解：構造函數 ，易證函數 在其區間 是單調遞增函數。
例2(2008年山東理)：已知函數 其中 為常數。當 時，證明：對任意的正整數 ，當 時，有
證法一：因為 ，所以 。
當 為偶數時，令 則 （ ）所以 當 時， 單調遞增。又 ，因此 恒成立，所以 成立。當 為奇數時，要證 ，由于 ，所以只需證 ，令 ，則 （ ），所以，當 時， 單調遞增，又 ，所以當 時，恒有 ，即 命題成立。
綜上所述，結論成立。
證法二：當 時， ，當 時，對任意的正整數 ，恒有 ，故只需證明 。令 則 ，當 時， ，故 在 上單調遞增，因此 當 時， ，即 成立。故 當 時，有 ，即 。
試題分析：第二問需要對構造的新函數 進行“常規處理”，即先證單調性，然后求最值，最后作出判斷。
評注：函數類問題的解題方法要內悟、歸納、整理，使之成為一個系統，在具體運用時自如流暢，既要具有一定的思維定向，也要謹防盲目套用。函數與不等式之間如同一對孿生兄弟，通過對不等式結構特征的分析，來構造函數模型，常常可以收到出奇制勝的效果。此類問題對轉化能力要求很高，不能有效轉化是解題難以突破的主要原因，要善于構造函數證明不等式，從而體現導數的工具性。
二、構造函數解決數列中的有關問題
數列的實質是函數,用函數思想解數列問題能夠加深對數列概念及公式的理解,加強知識點間的聯系.
例3：在等差數列中，已知 Sp = q , Sq = p ( p ≠q) , 求 Sp+q 的值。
略解：因為 是n的一次函數，點( n , ) 共線，所以點 （p , ） , ( q , ) , ( p + q , ) 共線， 則有 化簡即得 Sp+q = －( p + q ) 。
例4：等差數列{ }的首項 ,前 項的和為 ,若 ,問 為何值時 最大?
簡析:運用數列中的通項公式的特點,把數列問題轉化為函數問題解決。
解:依題意,設此函數是以 為自變量的二次函數。
故二次函數 的圖象開口向下當 時, 最大,但 中, 當 為偶數時, 時, 最大當 為奇數時, 時, 最大。
三、構造函數解決方程有解、無解及若干個解的問題
方程有解、無解問題可以用“變量分離法”轉化為求函數的值域，或直接構造函數。
例5(2010上海文科數學)：若 是方程式 的解，則 屬于區間()
A. （0，1） B.（1，1.25） C.（1.25，1.75） D.（1.75，2）
解析：
知 屬于區間（1.75，2）
例6（2010天津文科數學）：設函數f(x)=x- ,對任意 恒成立，則實數m的取值范圍是________。答案：m<-1
已知f（x）為增函數且m≠0，
若m>0，由復合函數的單調性可知 和 均為增函數，此時不符合題意。
M<0，時有 因為 在 上的最小值為2，所以1+ 即 >1,解得m<-1。
點評：本題是較為典型的恒成立問題，解決恒成立問題通常可以利用分離變量。
例7：已知函數 ，是否存在實數 ，使得 的圖象與 的圖象有且只有三個不同的交點，若存在，求出 的取值范圍，若不存在，說明理由。
解：函數 的圖象與 的圖象有且只有三個不同的交點，即構造函數。的圖象與 軸的正半軸有且只有三個不同的交點。當 時， 是增函數； 當 時， 是減函數；當 時， 是增函數； 當 或 時， 當 充分接近0時， 當 充分大時， 要使 的圖象與 軸正半軸有三個不同的交點，必須且只須所以存在 ，使得函數 與 的圖象有且只有三個不同的交點。
四、構造函數解決幾何問題
在幾何問題中, 我們往往會遇到求夾角的最值和求線段的最短(長)距離等問題，如果僅從幾何方面去思考,往往使問題難以解決, 倘若能夠靈活地運用構造函數方法, 從而使幾何問題“柳暗花明”。
例8（2010福建文科數學）：若點O和點F分別為橢圓 的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則 的最大值為
A．2 B．3 C．6 D．8
解析：由題意，F（-1，0），設點P ，則有 ,解得 ，因為 ， ，所以= = ，此二次函數對應的拋物線的對稱軸為 ，因為 ，所以當 時， 取得最大值 ，選C。
從以上幾例的解答中，我們已初步看到了函數思想的應用，函數思想的應用想當廣泛，但這些方面都涉及到最基礎知識，只要在學習中扎扎實實地掌握基礎知識，學會全面地分析問題，并注意在解題中不斷總結經驗，就一定會真正掌握運用函數思想解題的思路和方法，從而收到事半功倍的效果。
參考文獻：
[1]郭靜莉.構造函數法在高等數學解題中的應用[J].赤峰學院學報(科學教育版)，2011(2).
[2]李智. 淺談高等數學解題中構造函數法的應用[J].科技資訊，2008(16).
Abstract: Functional idea is an organic ingredient in mathematics idea and it is widely used in mathematics problem-solving. This paper analyzes the application of constructed function approach in inequality, progression, the existence of the solution and constant established.
Key words: functional idea; constructed function; inequality; equation; application
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