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高等數學課程的教學實踐與探索論文
高等數學是理工科院校必修的一門基礎課，它在本科各專業教學中的基礎地位和重要作用是不言而喻的。李大潛院士認為學習數學的目的是：通過學習數學，使學生對數學有一個基本正確的認識和理解，對數學在人類文明發展方面的重要作用有一個基本的認同和體會；通過數學嚴格的訓練，使學生能夠逐步領會到數學的精神實質和方法，積累優良的素質，提高數學素養；通過數學學習，使學生積累數學知識，能夠運用數學解決實際問題①。如何達到李大潛院士提出的數學的教育目的，成為高等數學教師考慮的首要任務。
一、大學生學習高等數學現狀分析
1.學生普遍存在畏難情緒，平均成績較低，不及格率較高。分析造成這種狀況的原因，主要體現在以下幾個方面：第一，大學數學的思想方法與高中數學的思想方法不同。在中學數學教學中受到重視的數學思想主要有集合思想 、化歸思想和對應思想。中學數學的思想方法教學有一個重要的模式：直觀—操作—掌握—領悟—應用②。高中雖然接觸了高等數學的內容，但還是停留在基本的層面，思維方法比較狹窄。而大學數學學習，要求學生必須具備分析和綜合、歸納和演繹、比較和分類、系統方法運用等方面的能力，經常用到逆向思維、橫向思維、動態思維等方式，教學中突出了理論部分，增加了大量的定理證明，使還停留在中學學習思維中的學生感到不知所措，學生建立起高等數學思維模式是一個比較艱難的過程。第二，大學教學方式與高中教學方式不同。高中的教學根據學生的認知能力水平，比較重視直觀。每次課講解的內容相對大學課程來說要少得多，在老師的指導下，學生有時間可以進行反復演練。而高等數學的教學更注重邏輯思維的培養，注重對基本概念的理解和抽象理論的論證，每次課程涵蓋內容豐富，跨越性較大，前后強調邏輯關系，強調系統性。比如，極限概念不理解透徹，后續的函數的連續性、可導性、可微性、積分等學習勢必困難重重，因為它們統統都是以極限來定義的概念。第三，大學學習環境與高中學習環境不同。由于高考的壓力，學生在高中階段學習應試教育傾向較大，學校教師對學生嚴格管理，學生只要完成老師布置的功課就能夠取得較優秀成績，自我思考的機會較少，生活相對簡單。到了大學以后，沒有了高考的壓力，學生在學校集體生活，可以說脫離了老師和家長的“監視”，他們自由支配的時間較多，而高校一般集中在大城市，生活設施齊備，娛樂環境較多，部分學生把注意力集中在網絡、交友等方面，學習時間減少；另一方面，大學課業的深度和難度相對于中學來說有了質的提高，很多學生從被動學習到主動學習轉換時間過長，最終導致成績全面滑坡，尤其是高等數學。
2.現行高等數學教學大綱要求達不到考研數學要求。理工科院校的高等數學根據不同專業對數學知識的要求，分別開設高等數學A，高等數學B，高等數學C，課時從184到64不等。不同學校也會根據自己專業實際情況進行調整，調整幅度一般不大。目前，對于本科學生來說，大學不再是他們的最終學習階段，有考研計劃的同學數量逐年上升，從高校研究生招生數量上可見一斑。研究生的數學入學考試根據專業方向分為數一，數二，數三，其中高等數學都占有最大比例。考研的數學大綱要求的范圍、深度遠遠高于大學高等數學的教學大綱。如何滿足考研同學的數學需求，同時還要兼顧數學習困難的同學，成為數學教學工作者必須解決的難題。另一方面，近年來高校本科生擴招，高校教師隊伍建設跟不上擴招的需求，師生比過小，高等數學的授課基本上采用合班教學，導致教學班學生人數較多，教師對學生的個別輔導、答疑很難滿足學生的要求，教師教學管理困難。
二、提高高等數學教學的有效途徑
筆者多年從事教學和教學改革工作，如果從以下幾個方面入手，就可以使學生學好高等數學這門課程，較有效地解決以上存在的問題。
1.做好高中數學與大學數學內容上的銜接。高中數學教學內容由兩大部分構成：一是傳統的初等數學內容；二是數學教育現代化運動中提出的應當進入中學課堂的部分高等數學內容，主要包括極限、導數與微分、積分、積分應用等內容。 也就是說，現行的高中數學教學內容與高等數學的教學內容有了一定的交叉，大學一年級第一學期高等數學教學內容從極限概念的引入到定積分應用，高中已經涉及，做好高中與大學的教學銜接是學生盡快適應大學數學的突破口。首先，大學教師要了解高中數學教材，了解高中數學所講解的高等數學的內容、深度，必要時可以邀請中學數學教師進行交流。在大學數學的教學內容上有所側重，中學中反復強調部分略講，注重講解新內容，這樣既可以節省教學時間又能夠保證教學效果。例如，大學要講解基本初等函數——指數函數、對數函數、冪函數、三角函數和反三角函數，高中數學已經詳細介紹了指數函數、對數函數、冪函數；三角函數重點介紹了正弦函數、余弦函數和正切函數；已給出初等函數的定義。所以在大學授課的時候，重點放在正割函數、余割函數和反三角函數的圖形以及各種三角關系式，其他部分可以略講。其次，大學的教學中注意對高中的一些數學概念加以推廣，由原來的語言描述過度到符號化的演示，注重邏輯推理的嚴密性。
2.分層教學。學生的學習目標不同，有的人想繼續學習，考研、出國留學；有的人想畢業后參軍或就業。不同的動機，學生的學習狀態也不盡相同。能夠滿足不同層次同學的需求，在目前的教學條件下，最好的辦法是分層教學。考慮到對學生教育的公平性，不能在現有的教學模式下，集中優質教師資源分成快慢班。在保證大課不動的前提下，可以從大一開始，開設高等數學輔修的提高班，所講題目以數學競賽和考研題型為主；大三開設考研精講班，主要梳理知識點，研究考研數學類型。兩門課程均以選修課的形式開設，全校公選。這樣就可以滿足考研同學的學習需求。中間層次的同學，跟隨教師上課的進度，能夠滿足學校數學要求，成績保證優良。難點在于那些不能達到學校要求的同學，往往在學習數學中存在不同程度的困難。考慮到這部分同學的實際情況，開設重修班，上課時間放到周六日，避免與正常課程沖突。重修班控制每班人數，教師做到細致講解、作業全批全改、定點定時答疑，使這批同學能夠盡快掌握數學基本知識，成績達標。
3.提高課堂教學質量。高等數學教學方式主要以課堂講授為主，所以課堂教學對學生學習起到至關重要的作用，怎樣達到高效的聽課效果，對于學生來說莫過于“筆記學習法”。教師的講解、板書要及時做筆記，課堂筆記要有一定的技巧性。首先，筆記簡明扼要，主要精力在聽；其次，要學會標題，并按要點分段；最關鍵的是要及時整理筆記。這是一個可以培養學生自主學習的好習慣的方法③。教師在教學中應該遵循大學生的發展規律，摒棄一切工具性和機械性手段，消除權威心態，加強師生溝通，教師要善于傾聽，要在教學中設置大量的已知和未知，提供較多的習題辯論課堂，給學生自由發揮空間，讓學生們自己探索，發揮群體學習作用。
4.數學軟件與數學教學相結合。數學學習如同其他科目的學習一樣，同樣也離不開實踐。現在是計算機的時代，大量的數學軟件應運而生，大部分的同學將來會投身到科學研究中去，他們要會“用數學”，不僅是具有數學的思想，而且要學會運用數學思想的工具——數學軟件。傳統的高等數學主要是理論教學，由于現實科學研究的需要，數學軟件的學習在大學數學學習中所占有的比重越來越大。例如，極限問題、導數問題、積分問題等，理論教學完成后，引導學生利用數學軟件MATLAB解決實際問題，親身體會計算機的高效和直觀。這種學習會對學生在數學理論的理解方面起到很大的幫助作用。在數學軟件學習的基礎上，引導學生做實際的數學建模，把抽象的數學知識運用到解決實際問題當中，加強學生的動手能力。
5.數學文化的融入。廣義的數學教育不僅把數學看成實用的工具，而且通過數學教育達到更廣泛的教育功能，這包括如何建立數學思維、培養良好的學習方法、積極的學習態度、提高品德修養等，也包括借助數學欣賞帶來的學習愉悅而對知識的尊重④。教師可以在教學過程中適當加入一些數學史的內容，例如，高等數學教材是按照極限理論—微積分理論的順序編排，這樣做的目的是便于邏輯教學。這時可以穿插講解數學歷史，現實中是先有微積分，后有分析理論的極限部分，接下來才有實數理論的過程，讓學生體驗知識的邏輯順序與歷史順序不同，增強學生對抽象理論的親切感。這種數學文化的融入不僅能提高學生的學習興趣，同時也提高了學生的文化素養。在教學中，一定要加強數學與其他學科的聯系，數學與生活的聯系，把數學實際化。如數學與文學、數學與建筑、植物學中的數學、數學與音樂等等。這時可以充分發揮多媒體的作用，運用圖片、聲音、視頻等方式讓學生感受數學，發現數學的美，使學生親近數學、欣賞數學，從而熱愛數學。
6.考核方法的改進。現行的高等數學學習評定，基本沿用傳統的模式，20%～30%的平時成績加上80%～70%的期末考試成績，用總評成績評定學生的學習效果。筆者在實踐中，把考核成績分成五大部分：積極課堂討論，發言提出問題占總成績的10%；數學課件運用和建模10%；數學文化小論文10%；平時書面作業及出勤20%；期末成績50%。總的實施效果來看，學生的學習態度、數學的綜合運用能力高于傳統的教學模式。
三、結語
關于一門課程體系的建設是一個復雜的系統工程 ，涉及的問題很多。我們必須立足現實，認真分析當今社會的需求，研究教學中存在的問題，教師和學校積極配合，研究適合本學校的教學方法。當然，一門課程的教學成果不能單單以考試成績來衡量，還要分析學生通過學習本課程具體掌握了哪些方法與技能，分析問題與解決問題的能力是否得到了有效提升。課程的改革是一個不間斷的過程，其目的是為培養高素質 、復合型的創新人才打好基礎。
［注釋］
①李大潛.數學文化與數學教養［J］.中國大學教學，2008（10）：7.
②郭訓柏.從高等數學視角看中學數學問題［J］.福建中學數學，2010（3）：32.
③鄧鳳茹，陳博海.筆記學習法在高等數學中的應用［J］.成人教育，2011（6）：113.
④韓華，王衛華.大學數學教學中融入數學文化的探討［J］.中國大學教學，2007（12）：22-23.
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