函數概念的“源”與“流

函數概念的“源”與“流

函數概念的“源”與“流
1.1函數概念的“源”
馬克思曾經認為，函數概念來源于代數學中的不定方程的研究，由于羅馬時代丟番圖對不定方程已有相當的研究，所以函數概念至少在那時已經萌芽。
自哥白尼的天文學革命以后，運動就成了文藝復興時期科學家共同感興趣的問題，人們在思索：既然地球不是宇宙的中心，它本身又有自轉和公轉，那么下降物體為什么不發生偏斜而還要垂直下落到地球上？行星運行的軌道是橢圓，原理是什么？還有，研究在地球表面上拋射物體和路線、射程的影響問題，既是科學家力圖解決的問題，也是軍事家要求解決的問題。函數概念就是從這些運動研究中引申出來的一個數學概念。在伽利略的力學著作《兩門新科學》中用文字語言敘述了一些函數關系。如：“從靜止開始以定常加速度下降的物體，其經過的距離與所用時間的平方成正比”。“沿著同高度但不同坡度的傾斜平板下滑的物體，其下滑時間與平板的長度成正比”。[5]等等這些敘述只需引進適當的數學符號就可表示為簡潔、明確的數學關系，這些文字語言是早期函數概念的雛形。
17世紀上半葉，笛卡爾把變量引入數學，他指出了平面上的點與其數對 之間的對應關系。當動點作曲線運動時，它的 坐標和 坐標相互依賴并同時發生變化，其關系可由包含 的方程式給出。相應的方程式就揭示了變量 和y之間的關系，但由于當時尚未意識到需要提煉一般函數概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數學家還沒有明確函數的一般意義。
從現存文獻中可知，最早提出函數概念的，是17世紀德國數學家萊布尼茲。于1673年他用“函數”一詞表示冪，如  都叫函數。隨后在他的一部手稿里，他又用“函數”一詞來表示任何一個隨著曲線上的點變動而變動的量——例如：切線、法線、次切線等的長度以及縱坐標等。[6] 萊布尼茲的函數概念使用范圍狹窄，后續的數學家在此基礎上做了許多擴展工作。
1698年，萊布尼茲的學生，瑞士數學家約翰、伯努力提出新的函數概念：“由變量x和常數所構成的式子叫做x的函數。”[7]1718年他又進一步規范了這一定義：“一個變量的函數指由這個變量和常數任意一種方式構成的一個量。”[8]伯努力所強調的是函數要用公式表示。后來數學家覺得不應該把函數概念局限在只能用公式表達上，只要一些變量變化就可以，至于這兩個變量的關系是否要用公式表示就不作為判別函數的標準。
1734年，瑞士另一數學家歐拉，首次使用了符號 表示變量數，他的例子是 ，后人據此發明了 表示變量x的函數值。[9]1755年，歐拉在其論著中把函數定義為：“如果某些變量以某種方式依賴于另一些變量，即當后者變化時，前者本身也發生變化，則稱前一些變量是后一些量的函數。”在此定義中，就不強調要用公式表示了，由于函數不一定要用公式表示，歐拉曾把畫在坐標系里的曲線叫函數，他認為：“函數是隨意畫出的一條曲線。”
  1797，法國數學家拉格朗日，從分析學的角度對函數概念做了擴展：“所謂一個或幾個變量的函數是任意一個適合于計算的表達式，這些量以任意方式出現于表達式中。”無獨有偶，1822年法國另一個數學家傅里葉，在他的名著《熱的解析理論》中定義為：“通常函數表示相接的一組值或縱坐標，它們中的毎一個都是任意的……我們不假定這些縱坐標服從一個共同的規律；他們以任何方式一個挨一個。”在該書里，他用一個三角級數和的形式表達了一個由不連續的“線”所給出的函數。[10]證明在解析式和曲線之間并不存在不可逾越的鴻溝，級數把解析式和曲線溝通了。
19世紀是數學大發展的時代，除了創立大批新的數學分支和分析基礎嚴密是其顯著特色。數學家他們在考慮鞏固數學基礎的同時，對函數概念“發散”狀況也做了種種規范，主要是突出了變量與對應關系。
1823年，法國另一數學家柯西給出了類似現在中學課本的函數定義：“在某些變量間存在一定的關系，當一經給定其中某一變量的值，其它變量的值可隨著而確定時，則將最初的變量叫自變量，其它各變量叫做函數，在柯西的定義中，首次出現了自變量一詞。
1834俄國數學家羅巴切夫斯基進一步提出函數的定義：“x的函數是這樣一個數，它對于毎一個x都有確定的值。并且隨著x一起變化，函數值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法，函數的這種依賴關系可以存在，但仍然是未知的。”這個定義指出了對應關系，可以求出毎一個x的對應值。
1837年德國數學家狄里克雷認為怎樣去建立x與y之間的對應關系無關緊要，所以他的定義是：“如果對于x的任何一個值，總有一個完全確定的y值與之對應，則y是x的函數。”這個定義抓住了概念的本質屬性，變量y稱為x的函數，只需一個法則存在，使得這個函數取值范圍中的任何一個值，有一個確定的y值和它對應就行了，不管這個法則是公式或圖像或表格或其它形式。這個定義比前面的定義更具有普遍性，為理論研究和實際應用提供了方便，因此這個定義曾被長期使用。
19世紀中葉以后，數學家從函數的適用范圍對這一概念做了不同程度的擴展。例如德國的黎曼1851將變量推廣到復數；英國的布爾和德國的佛雷格又將變量擴展到邏輯符號；德國的戴德金則直接使用“元素”和“映射”表示變量，使函數概念由具體描述上升到抽象概括。

1.2函數概念的“流”
 隨著近代數學的發展，人們對函數的認識越來越深刻。到了19世紀70年代，德國數學家康托集合論的產生后，建立了函數的結合對應定義，也就是用“集合”與“對應”來敘述：“給定兩個集合A和B，如果按照某種確定的對應關系，對A的每一個元素，在B中都有唯一的元素與之對應，則這種對應關系稱為從A集合到集合B的函數。類似于現在高中數學課本中的函數定義。
    20世紀初，生產實踐和科學實驗的進一步發展，又引起函數概念新的尖銳的矛盾。20世紀20年代，人類開始研究微觀物理現象，1930年量子力學面世，在量子力學中需要用到一種新的函數—— -函數，即 。[17]
 - 函數的出現，引起了人們激烈爭論，按照函數原理定義，只允許數與數之間建立對應關系，而沒有把“ ”作為數，另外對于自變量只有一個點不為零的函數，其積分值卻不等于零的函數，這也是不可想象的。然而， -函數確實是實際模型的抽象。例如，當汽車、火車通過橋梁時，自然對橋梁產生壓力，從理論上講，車輛的輪子和橋面的接觸點只有一個，設車輛對軌道、橋面的壓力為一單位，這時在接觸點 處壓強是 ，其余點 處，因為無壓力，故無壓強，即 ，另外，我們知道壓強函數的積分等于壓力，即 。
   函數概念在這樣的歷史條件下能動地向前發展，20世紀60年代以后，數學家們又把函數歸結為一種更廣泛的概念——“關系”。 設集合X、Y，我們定義X與Y的積集 （笛卡爾積）為 ，積集中的子集R稱為X與Y的一個關系，若 ，則稱x與y有關系R，記為 ，若 ，則稱x與y無關系。則從集合X到集合Y的函數 有如下定義：1） 是X與Y的關系，即  ，2)如果 ，必有 ，那么 為X到Y的函數。[11]在此定義中已在形式上回避了“對應”的術語，全部便用了集合論的語言了。
   目前，推廣的函數概念的定義中把諸如“算子”和“泛函”（函數的函數，包括某些廣義函數）等名詞都包含進去了，以適應日新月異發展的數學。我們可以預計到，關于函數的爭論、研究、發展、拓廣將不會完結，也正是這些影響著數學及相鄰學科的發展。
    回顧函數概念的“源”與“流”，我們看到，函數概念逐漸從直觀到抽象，從含糊到精確；大致經歷了三個階段：從羅馬時代到17世紀中葉：樸素直觀、通俗易懂但不嚴格的描述階段；17世紀末到19世紀60年代：大致為常量與變量的表述階段；19世紀70年代到當今：發展到集合與對應，映射與關系抽象定義階段。這個發展流程與學生認知函數的過程基本一致。因此歷史上許多定義都對我們今天的教學有啟示作用。例如，早期的函數定義談到的“解析表達式”、“由曲線確定關系”、“依賴變化”等，盡管其范圍狹窄、表述不明確，但生動直觀，學生容易理解，所以可以作為正式定義前的鋪墊材料；中期的定義除了“變量”、“對應”這兩個概念未明確外，總的來說比較嚴謹，學生也可以接受，所以略加修改就可以作為函數的正式定義。后期的定義只用到集合概念，嚴謹抽象，中學生不易接受，但對函數的進一步學習與研究以及加深對函數概念的理解大有用處。
   當然，在進行數學教育時，根據教育對象理解程度不同而采取不同的函數定義是必要的，有時候還常常借助于幾何直觀（函數圖像）來理解函數概念。人們認識由淺入深，由片面到全面，函數概念也隨著學習數學的進步而不斷更新完善的。以上我們分析了函數概念的整個發展歷程，下面我們來看看數學中真正使用了哪些定義。

1.3函數概念的不同表述
初中教材中函數概念的表述：“一般地設在一個變化過程中有兩個自變量 與 ，如果對于 的毎一個值， 都有唯一的值與它對應，那么就說 是自變量， 是 的函數。”[12] 該表述與狄利克雷的函數定義類似。此表述的特點很直觀，并且明確指出自變量 在某一給定范圍可以取任意值,因變量 按一定規律也相應每次取唯一確定值。而此表述相對于初中要掌握的常量、變量、函數（一次函數、二次函數、及其圖像、反比例函數和性質）完全夠用。而且這個表述對初中生來說，也是容易理解的。
工具書上的定義：《中國大百科全書、數學》為函數單列一條，在講明“函數是一類依賴關系的一種數學概括” 后定義：“設D是一非空的實數集， 是某一法則。如果對于毎一個數  ， 唯一地確定出一個相對應的實數 ，則稱 為定義于D上的一個函數。”[13]
《數學百科辭典》指出：“目前在數學中，函數一詞一般是在和映射完全相同的意義下使用的。”在集合A、B之間，當給出使A的各元素對應B的某幾個元素的規則，稱確定了由A到B的映射。映射也稱為函數或者變換。函數在這里已不稱其為函數了，成了映射或變換的代名詞。[14]
高中教材中的定義1：如果A、B都是非空的數集，那么A到B的映射 ： 就叫做A到B的函數，記作： ，其中 ，原象的集合A叫做函數 的定義域，象的集合  叫做函數 的值域，函數符號 表示“ 是 的函數”，有時簡記作函數 。[15]
高中數學教材中定義2:設A,B是非空的數集,如果按某個確定的對應關系,使對于集合A中的任意一個數 ,在集合B中都有唯一確定的數 和它對應,那么就稱 :A  B為從集合A到集合B的函數,記作:  其中 叫做自變量, 的取值范圍A叫做函數的定義域,與 值相對應的 的值叫做函數值,函數值的集合叫做函數的值域.[16] 高中教材中的定義與康托爾集合論出現后所給出的函數定義類似。是在集合基礎上用對應的方式給出的（先定義映射也是用對應的方式給出的），這兩個定義更簡明、嚴謹。定義2避開了映射這個定義也避開了映射學習對后繼學習的影響。高中要學的所有函數（冪函數、指數函數、對數函數、函數的單調性奇偶性、反函數、三角函數、反三角函數）等均可用這兩個定義表示，而且這兩個定義相對于高中生的認知水平，也是可以接受的。
數學分析中的定義:給定兩個實數集 和 ,若一個對應法則 ,使 內每一個數 ,都有唯一的一個數 與它對應,則稱 是定義在數集 上的函數,記作 ： （ ）。數集 稱為函數的定義域。對于 中的每一個 根據法則 所對應的 中的數 ,稱 為在點 的函數值,常記為 。全體函數值的集合 稱為函數的值域。[17]
高等數學中的定義：設在一個變化過程中有兩個變量 和 ，若對于 的取值范圍內的每一個值，按照某一個確定的對應法則， 有唯一確定的值與之對應，則稱 是 函數，記作 ，變量 稱為自變量，變量 稱為因變量。自變量 的取值范圍稱為函數的定義域。當自變量在定義域內取定某個值 時，按照確定的對應法則所得到的因變量的相應值 稱為函數 在 處的函數值，記作 ，并稱函數 在 處有定義。當自變量 在定義域上取值時，相應的函數值全體稱為函數 的值域。[18] 由以上的兩個定義可以看出，大學教材中的定義是在中學教材中的定義的基礎上做了適當修改。

1.4引入函數概念的意義
從人類數學發展的整個歷程來看，一個根本的轉折點是17世紀中葉，笛卡爾引入變量。恩格斯給予了高度評價“數學中的轉折點是笛卡爾的變數，有了變數，運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學，有了變數，微分和積分也就立刻成了必要，而它們也就立刻產生。”[19]也正是由于人們對變量、函數概念的認識，數學科學由初等數學時期（或稱常量數學時期）進入了高等數學時期（或稱變量時期）。函數概念不僅使得人類數學思維發生了質的飛躍，而且導致了數學科學的蓬勃發展，數學中的許多概念或由函數派生，或由函數統率,或可歸之為函數觀點研究。因此，可以毫不夸張地說，函數是近、現代數學的基石。
函數在數學教育中的重要性體現在：函數是中學數學教育內容中重要的基礎概念之一。進一步學習的數學分析，包括極限理論，微分學、積分學、微分方程乃至泛函分析等高等學校開設的數學基礎課程，無一不是以函數作為基本的概念和研究對象的。其他學科如物理學等學科也是以函數的基礎知識作為研究問題和解決問題的工具。此外函數的教學內容還蘊涵著極其豐富的辯證思想，是對學生進行辯證唯物主義教育和愛國主義教育的好素材。函數的思想方法廣泛地滲透到了中學數學的全過程和其它學科中。通過對函數概念的學習，對學生的思維發展具有重大作用，它將使學生通過這一概念的形成引發對思維水平質的飛躍，并引導其由形式邏輯思維范疇進入辯證思維范疇。
 

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