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對函數(shù)概念學(xué)習(xí)的認(rèn)知過程分析
對函數(shù)概念學(xué)習(xí)的認(rèn)知過程分析
3.1影響學(xué)生函數(shù)概念學(xué)習(xí)的因素
3.1.1函數(shù)概念的形成經(jīng)歷了多次擴(kuò)展,抽象程度很高,學(xué)生難以理解.
在第一章的敘述中，我們可以清楚地認(rèn)識到函數(shù)概念從17世紀(jì)開始，曾擴(kuò)展多次，并且越來越抽象。函數(shù)這一概念的發(fā)展流程如下圖1：
圖1
現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為人們在頭腦中是以某種命題網(wǎng)絡(luò)的形式表征知識的，并且這些命題是按層次結(jié)構(gòu)進(jìn)行存儲。一般來說較為抽象概括的知識處于高層，而較為具體的內(nèi)容處于低層。從下圖4.1中可以看出：
人們頭腦中有關(guān)動物的知識是分層次存儲的，最高層是有關(guān)動物及其共同的本質(zhì)特征，次一層是有關(guān)魚與鳥的本質(zhì)屬性，而最下一層是一些具體的動物種類的特征。這樣，使得人類對知識的認(rèn)識過程分為兩大類：即由一般到特殊（從上到下）和由特殊到一般（從下到上）的認(rèn)識過程。[21]函數(shù)概念的演變過程經(jīng)歷了“由特殊到一般”的弱抽象過程，這種弱抽象結(jié)果使函數(shù)這一概念的包性更強(qiáng)，更抽象，處于命題網(wǎng)絡(luò)的頂層。（如下圖所示） 所以學(xué)生學(xué)習(xí)起來必然感到困難。
3.1.2教材中函數(shù)概念的定義敘述語言嚴(yán)謹(jǐn)、深刻,學(xué)生難于理解概念的內(nèi)涵與外延。
例如，初中數(shù)學(xué)教材中的定義，這個定義是用描述性語言給出的，此后學(xué)生學(xué)習(xí)一些簡單的具體函數(shù)：正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等，并了解它們的一些簡單性質(zhì)公式、圖像、單調(diào)性等。教材編寫者考慮了與初中生的認(rèn)知水平相適應(yīng)。盡管如此，學(xué)生學(xué)起來還是比較困難。主要原因在學(xué)習(xí)變量之前，學(xué)習(xí)大多是接觸常量。這就要求學(xué)生思維上一個臺階。由常量向變量的飛躍。首先學(xué)生難于理解變量的涵義，其次，x在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值……。都有唯一確定的值與它對應(yīng)中的“毎一個”，“唯一確定”，“對應(yīng)”等詞都難以理解。學(xué)生還難分清“誰是誰”的函數(shù)。函數(shù)定義本身也存在缺陷 “y既是x的函數(shù)”,同時y又是x的函數(shù)值 ,它們之間混淆了。又如高中教材中的函數(shù)定義，突出了“對應(yīng)法則”是函數(shù)的核心，它嚴(yán)格區(qū)分了函數(shù)與函數(shù)值，但什么是“對應(yīng)法則”定義中沒有明確是一個缺陷。如 ， 有相同的定義域和值域，它們有不同的運(yùn)算，兩個對應(yīng) 與g是否相同呢？此處兩個函數(shù)中的對應(yīng)還可理解為同一個對應(yīng)的不同表達(dá)形式，視為同一函數(shù)。[22]又如 ，既可以說是同一個函數(shù)，又可以說不是同一個函數(shù)，按其本質(zhì)來說應(yīng)是同一個函數(shù)。[23]從集合“笛卡爾積”出發(fā)來定義函數(shù)，得到函數(shù)的現(xiàn)代定義克服了上述缺陷，但不適合在高中引入，與學(xué)生的認(rèn)知水平不符。此外高中教材中的定義是在集合與映射的基礎(chǔ)上定義的，映射本身也是一個抽象難懂的概念，如果學(xué)生沒有完全掌握，將會阻礙后續(xù)學(xué)習(xí)。例如在問卷2和3的調(diào)查中關(guān)于判斷是不是一個函數(shù)一題，學(xué)生中就誤認(rèn)為映射的思想就是函數(shù)的本質(zhì)。而沒有抓住函數(shù)的本質(zhì)是變量之間的相倚性。函數(shù)是用來描述客觀世界變化的重要數(shù)學(xué)模型。比方說長方體的體積（v）是由長、寬、高三者決定的，那就說明它們之間存在著相倚性，但卻很難聯(lián)系到多個集合與一個集合之間的映射。雖然映射的思想不是函數(shù)的本質(zhì)，但卻能最深刻地刻畫函數(shù)的本質(zhì)。由此我們知道學(xué)生之所以出現(xiàn)調(diào)查中的情況關(guān)鍵在于沒有領(lǐng)會映射思想，沒有建立概念內(nèi)部與概念之間的聯(lián)系，而僅僅記住其表現(xiàn)形式或語言表述。此時他所掌握的概念是孤立的，實(shí)際上并沒有正確理解概念，不能真正解決具體問題。
３．１．３學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)
學(xué)生獲得概念的能力隨著年齡的增長，經(jīng)驗(yàn)的增長而發(fā)展，智力也是影響概念學(xué)習(xí)的重要因素之一。但研究表明，就智力與經(jīng)驗(yàn)對概念學(xué)習(xí)的影響程度來看，經(jīng)驗(yàn)的作用更大，豐富的經(jīng)驗(yàn)背景是理解概念本質(zhì)的前提，否則將容易導(dǎo)致死記硬背概念的字面定義而不能領(lǐng)會概念的內(nèi)涵。[24]這里的“經(jīng)驗(yàn)”除包括學(xué)校學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)（包括數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，以及其它學(xué)科學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)）以外，還有來自日常生活而且日常生活經(jīng)驗(yàn)在學(xué)習(xí)中發(fā)揮著重要的作用。事實(shí)上，學(xué)生掌握的科學(xué)概念許多都是從日常概念發(fā)展而來的。如初中生在學(xué)習(xí)函數(shù)概念，必須準(zhǔn)確掌握“變量”、“對應(yīng)”和“運(yùn)動”的涵義，（而這幾個概念都可從日常生活經(jīng)驗(yàn)中掌握）否則便不能真正獲得“函數(shù)”這個概念。教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)越豐富，他們的已有知識越準(zhǔn)確牢固，已有技能越熟練，掌握新概念就越有利，同時也可以看出學(xué)生形成概念之所以遇到困難，也與學(xué)生所把過去經(jīng)驗(yàn)不恰當(dāng)?shù)剡w移到新情境有關(guān)。[25]
3.1.4學(xué)生的認(rèn)知策略
認(rèn)知策略，即學(xué)生面對新概念學(xué)習(xí)所采取對策，包括注意、記憶和思維方式的選擇與修正等，也能對獲得概念產(chǎn)生重要影響[25]。在函數(shù)概念學(xué)習(xí)之前，基本上是常量數(shù)學(xué)，所學(xué)的數(shù)學(xué)概念屬于形式邏輯的范疇。函數(shù)研究變量，變量的本質(zhì)是辯證法在教學(xué)中的應(yīng)用，即函數(shù)是一個辯證概念。學(xué)習(xí)時學(xué)生的思維發(fā)展水平要從具體形象思維過渡到抽象邏輯思維。在這個過程中，學(xué)生漸漸地脫離對感性經(jīng)驗(yàn)的依賴，由經(jīng)驗(yàn)型抽象思維逐步上升為理論型抽象思維。初中生以形式邏輯思維為主，高中生在繼續(xù)完善形式邏輯思維發(fā)展的前提下，辯證思維發(fā)展?jié)u漸占主流。高中生的辯證思維基本上還處于形成與發(fā)展的早期階段。而函數(shù)概念的學(xué)習(xí)要求學(xué)生思維能夠進(jìn)行靜止與運(yùn)動,離散與連續(xù)的相互轉(zhuǎn)化。這給學(xué)生形成了認(rèn)知上的障礙。學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)定義對函數(shù)的三要素（定義域、值域、對應(yīng)法則）的掌握，和符號“ ”（對應(yīng)法則）表示的意義學(xué)生最難理解。因?yàn)榫哂?ldquo;隱蔽性”，它的具體內(nèi)容很難從符號上來想象，即使所表示的對應(yīng)法則是確定的，學(xué)生也缺乏足夠的為符號建立起具體內(nèi)容的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。這樣一方面是學(xué)生的辯證思維發(fā)展還處于很不成熟的時期，思維水平基本上停留在形式邏輯思維范疇，只能局部地、靜止地、分割地、抽象地認(rèn)識所學(xué)事物。另一方面函數(shù)概念是一個辯證概念，其特征是發(fā)展的、變化的處于其他概念相互聯(lián)系之中。形成函數(shù)概念必須沖破形式邏輯思維的局限，進(jìn)入辯證思維領(lǐng)域，這個矛盾構(gòu)成了函數(shù)概念學(xué)習(xí)的認(rèn)知障礙。
3．1．5學(xué)生情感
學(xué)習(xí)函數(shù)概念和學(xué)習(xí)其它知識一樣，甚至需要學(xué)習(xí)者有更強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)需要，由于函數(shù)概念涉及到許多子概念，如“變量、常量、對應(yīng)、唯一確定”等。另外函數(shù)概念的表述是一個相當(dāng)繁雜和高度抽象概括的形式，，學(xué)習(xí)起來容易使人感到茫然，這就需要學(xué)習(xí)者有積極的學(xué)習(xí)態(tài)度和堅(jiān)強(qiáng)的學(xué)習(xí)意志。由此可見，學(xué)生對函數(shù)知識持的情感會影響他學(xué)習(xí)函數(shù)概念的效果。
此外，學(xué)生的智力水平，語言表達(dá)能力、概括能力等對函數(shù)概念的學(xué)習(xí)都有不同程度的影響，本文不作一一探討。
3.2函數(shù)學(xué)習(xí)的認(rèn)知發(fā)展
數(shù)學(xué)本身是一門抽象性很強(qiáng)的學(xué)科,而函數(shù)概念又是這門學(xué)科中諸多概念中抽象性比較強(qiáng)的一個概念.正因?yàn)槿绱?大量的教育教學(xué)與調(diào)查表明函數(shù)概念是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最困難的概念之一.筆者在上一節(jié)中已經(jīng)詳細(xì)分析了影響學(xué)生函數(shù)學(xué)習(xí)的諸多因素.通過第二章第一部分函數(shù)教學(xué)案例及簡要分析得知：就中國的函數(shù)教學(xué)而言,一般用兩種方式引入函數(shù)概念教學(xué),在初中用變量定義的方式,在高中用映射、對應(yīng)的定義方式。最新版的教材直接用對應(yīng)的方式定義函數(shù)。這種安排在一定的程度上遵循了函數(shù)概念的歷史發(fā)展本來的順序，也符合人們對于函數(shù)認(rèn)知過程上的發(fā)展性、階段性。為了比較分析，筆者利用上一章提到的問卷２對高二、高三學(xué)生共計(jì)２００人作了抽樣調(diào)查；利用問卷３對非數(shù)學(xué)專業(yè)的大四學(xué)生和數(shù)學(xué)專業(yè)的大四學(xué)生和部分?jǐn)?shù)學(xué)教師共計(jì)２００人做了調(diào)查，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)學(xué)生形成函數(shù)概念以及理解函數(shù)的認(rèn)知水平普遍偏低，對函數(shù)概念的掌握與預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)大相徑庭。
３．２．１函數(shù)定義及其表象
函數(shù)定義方式很多，在第一章第一節(jié)中列舉了一部分，因而學(xué)生對于函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，常會遇到多個表象。如圖像、列表格形式、解析式、箭頭實(shí)例等。對于同一函數(shù)概念的多個表象在同一水平上被使用，這些表象使學(xué)生清楚潛在概念，因而影響概念的抽象過程，在問卷２和問卷３的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生只記得函數(shù)的某些表象，而對函數(shù)定義的本質(zhì)沒能很好地掌握。但同時我們也清楚地認(rèn)識到在概念學(xué)習(xí)中表象比定義本身起著更重要的作用。
通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生頭腦中函數(shù)概念的發(fā)展大致經(jīng)歷作為“算式”的函數(shù)，作為“變化過程”的函數(shù)，作為“對應(yīng)關(guān)系”的函數(shù)。低年級的學(xué)生頭腦中“算式”的函數(shù)表征占多數(shù)。這一類學(xué)生還沒有真正利用函數(shù)的概念定義來解決與函數(shù)有關(guān)的問題，僅僅將知識停留在所學(xué)過的方程、不等式的代數(shù)式上。比如在問卷１的第４題，要求學(xué)生判斷是否為一種函數(shù)關(guān)系。有部分學(xué)生認(rèn)為它既不是一次函數(shù)，也不是二次函數(shù)，有另一部分人認(rèn)為沒有學(xué)過。對于這個過程，很多學(xué)生只停留在表象的認(rèn)知上——函數(shù)的解析式，不會利用數(shù)學(xué)形結(jié)合的思想解題。又如問卷２中第２題，求二次函數(shù)的最大值和最小值。學(xué)生中有一部分是這樣解題的，當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， 故 ，和 ，這個問題可以看出他們僅僅將函數(shù)看成是多項(xiàng)式且區(qū)間知識不牢，表示混亂，這種情況同樣是他們沒有吃透“數(shù)形結(jié)合”的函數(shù)思想，以致這種混亂思想會困擾學(xué)生做其它與函數(shù)有關(guān)的問題，如求函數(shù)的值域問題。學(xué)生在初學(xué)階段解題往往把函數(shù)圖像與函數(shù)的解析式孤立對待，難以把圖像的特點(diǎn)與解析式所反映出來的性質(zhì)結(jié)合起來。隨著學(xué)生閱歷的增加，學(xué)生的認(rèn)知水平不斷上升。持“變化過程”的函數(shù)這一表象的這一類學(xué)生，對問卷２和問卷３的第１道題的回答中，有：函數(shù)是有定義域、值域和解析式的整體；函數(shù)反映的是因變量隨著自變量變化而變化的式子。此類學(xué)生比前類學(xué)生自身的認(rèn)識能力即抽象能力明顯高，但還是不能對函數(shù)概念做出正確的解析，忽略了函數(shù)定義中的關(guān)鍵之處，任意一個自變量 對應(yīng)唯一一個因變量 。隨著知識的加深以及練習(xí)難度的加深。學(xué)生掌握函數(shù)也在深入。例如調(diào)查問卷２中第２題中的第二類解法的學(xué)生，將函數(shù) 配方后得 且 ，故當(dāng) 時， 取最小值 ，當(dāng) 時， 取最大值 。以及第三類解法的學(xué)生畫出函數(shù)圖像，利用圖形求出最值 和 的解法都正確，但是比較起來兩類學(xué)生有較大的區(qū)別。后一類學(xué)生能活用函數(shù)圖像的功能，前一類學(xué)生并沒有真正將數(shù)與形結(jié)合起來。已形成了作為“對應(yīng)關(guān)系”的函數(shù)的學(xué)生對新知識的領(lǐng)悟能力較強(qiáng)，能正確地描述函數(shù)的定義。由此學(xué)生對函數(shù)概念的認(rèn)知發(fā)展并不是每一個學(xué)生都能完成的。個人對概念的理解與其所具有的理解力有密切聯(lián)系。人的能力因人而異并不完全相同，對函數(shù)概念的理解也不盡相同。
３．２．２學(xué)生對函數(shù)認(rèn)知發(fā)展的階段性。
初中、高中、大學(xué)課程里對函數(shù)的不同定義，以及學(xué)習(xí)者自身數(shù)學(xué)背景的變化使得不同年齡段的學(xué)生對函數(shù)的理解出現(xiàn)了較大的差異。如初三學(xué)生的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在理解函數(shù)的過程中，首先把這一概念與自己已有的知識相聯(lián)系。如二次函數(shù)的表達(dá)式的書寫形式“ ”與一般的表達(dá)式的書寫形式類似，學(xué)生容易把函數(shù)與代學(xué)式混淆，并在解題中相互替代從而導(dǎo)致錯誤。另外初次接觸變量，對變量的理解不透徹。如問卷１的第２題，兩個學(xué)校都有超過半數(shù)以上的學(xué)生重新解了“新方程”。大學(xué)生與高中生的比較中發(fā)現(xiàn)，大學(xué)生在學(xué)習(xí)了多值函數(shù)定義后，有些學(xué)生會與中學(xué)學(xué)習(xí)的函數(shù)概念產(chǎn)生混淆。有學(xué)者曾指出，當(dāng)學(xué)生第一次面對某一個數(shù)學(xué)定義時，他們將幾乎不可避免地只遇到一個極其有限的可能范圍，這就會使他們的概念表象帶上某些特定的痕跡，這會導(dǎo)致后來對概念的認(rèn)知發(fā)展學(xué)習(xí)中產(chǎn)生沖突。在函數(shù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生在初中接觸的函數(shù)概念與在高中學(xué)習(xí)的函數(shù)概念以及大學(xué)遇到的多值函數(shù)概念是有明顯的差異的。這就使得他們在進(jìn)一步理解函數(shù)的過程中產(chǎn)生沖突。筆者給數(shù)學(xué)專業(yè)的老師和數(shù)學(xué)專業(yè)的大四學(xué)生和非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生做了相同的問卷３。在這里給出他們對相同題目回答的正確率的對比表。
正確率
題目
非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生
數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生
數(shù)學(xué)專業(yè)老師
９２.８％ ６０％ ９７％
８０％ ８５％ ９４％
８０％ ８５％ ９４％
小明小華小黃的對應(yīng)身高 ７０％ ７５％ ９５％
從表中可以看出有些問題數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生還不如非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生。
３．２．３對內(nèi)潛于現(xiàn)實(shí)中的函數(shù)關(guān)系的感知。
幾個年級的學(xué)生都對給出解析式的函數(shù)關(guān)系較為熟悉，而對于函數(shù)關(guān)系不很明顯或以一個較為熟悉的生活現(xiàn)象出現(xiàn)時，學(xué)生對做出的答案顯得明顯不夠自信。而讓學(xué)生自己舉出一些生活中接觸到的函數(shù)時，學(xué)生覺得更困難了。舉出來的例子大都是平時教科書或習(xí)題中出現(xiàn)得比較多的與生活有聯(lián)系的問題。這說明學(xué)生對于內(nèi)潛于現(xiàn)實(shí)生活中的函數(shù)現(xiàn)象不敏感。不善于將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。分析其中的原因，可能之處在于以往的學(xué)校函數(shù)教學(xué)中，雖然讓學(xué)生明確了函數(shù)的形式化定義。但給學(xué)生提供的函數(shù)例子多為以解析形式給出，從已有的函數(shù)關(guān)系出發(fā)，去加以研究，學(xué)生較小經(jīng)歷或沒有經(jīng)歷過在已有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，自己總結(jié)出來的函數(shù)關(guān)系的過程。因此這樣的函數(shù)教育都是在沒有背景下學(xué)習(xí)函數(shù)，很少把函數(shù)知識一開始就鑲嵌于生活現(xiàn)象中，這樣的教育已不適應(yīng)當(dāng)今數(shù)學(xué)教育改革的潮流了。正如丁爾升教授所提出的：各年齡段的學(xué)生都必須經(jīng)常探索學(xué)校數(shù)學(xué)中學(xué)到的比較原始的模式與紊亂的現(xiàn)實(shí)世界實(shí)際資料數(shù)學(xué)據(jù)間的關(guān)系，現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)比編造的更可信。
３．２．４專家——新手對函數(shù)問題解答的對比分析。
隨著學(xué)習(xí)的發(fā)生和勝任能力的獲得，人的知識和各個部分將會日益相聯(lián)系起來。專家對記憶中的這些信息作了因果順序的組塊處理，由此將問題情境中的目標(biāo)與子目標(biāo)相互聯(lián)系起來，這樣便能在下一步的行動中提供反饋。[25]專家型的個體遇到問題時便能提取一些具有內(nèi)在條理性的信息組塊，而不是一些支離破碎的信息。在不同的學(xué)科領(lǐng)域里，新手型個體（或初學(xué)者）的知識前后不聯(lián)貫,頭腦中只是一些孤立的定義和對核心術(shù)語及概念的膚淺理解。具體到面對有關(guān)函數(shù)這一知識問題來說，專家型個體馬上就可提取出函數(shù)是一種特殊的對應(yīng)關(guān)系，特殊在任一自變量都對應(yīng)而且只對應(yīng)唯一的因變量。因而在判斷問卷３中的第３題和第４題時，專家型個體能迅速抓住“任一個“ ”只有在都對應(yīng)唯一個“ ””的情況下，才是函數(shù)。問題就變得非常容易了。而對于新手型個體，頭腦中的知識結(jié)構(gòu)模糊，有些同學(xué)只記得定義中有“ ”，因而誤認(rèn)為“ ”不是函數(shù)，因?yàn)楦揪蜎]有“ ”的出現(xiàn)，同樣對判斷是否存在函數(shù)與圖像對應(yīng)時，也是瞎猜。有些人頭腦中有一些錯誤的函數(shù)定義的表征，因?yàn)楹瘮?shù)的表示法中有圖像法，錯誤地認(rèn)為凡是圖像都有相應(yīng)的函數(shù)與之對應(yīng)。故專家型個體的正確率明顯高于新手型個體。在平時的教學(xué)中我們應(yīng)該注意促使學(xué)生頭腦中的知識具有條理性和相互聯(lián)系并成為易于提取的較大的知識組塊，便于在解題時迅速提取。
對問題的一定的表征形式總是同人是否能夠發(fā)現(xiàn)任務(wù)中的蛛絲馬跡，或執(zhí)行一系列的解題步驟相關(guān)聯(lián)。通過對比分析充分認(rèn)識到專家型個體在接觸到問題或任務(wù)時則能作出推論，并能鑒別出能統(tǒng)率這些表面結(jié)構(gòu)的一些原理。而新手型個體只依照問題或任務(wù)中的一些表面特征在進(jìn)行運(yùn)作。如在問卷３的第６題的調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)，相當(dāng)于新手型的高中生很難選全，其實(shí)問題并不難，只要抓住了切入點(diǎn)。新手型個體容易被問題中一些假象所迷糊，甚至有人定勢地認(rèn)為題中給出的圖像就是螞蟻行走的折線圖,沒有完全弄清題意，仔細(xì)思考。
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