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淺談小學(xué)數(shù)學(xué)的研究性學(xué)習(xí)
一、小學(xué)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的意義和目的
《九年制義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》闡明了數(shù)學(xué)的重要作用：“數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的基礎(chǔ)和工具。它在日常生活、生產(chǎn)建設(shè)和科學(xué)研究中，有著廣泛的應(yīng)用。因此掌握一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基礎(chǔ)技能，是我國公民應(yīng)當(dāng)具備的文化素養(yǎng)之一�！庇种赋觯骸靶W(xué)數(shù)學(xué)是義務(wù)教育的一門重要學(xué)科。從小給學(xué)生打好數(shù)學(xué)的初步基礎(chǔ)，發(fā)展思維能力，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，對于貫徹德、智、體、美全面發(fā)展的教育方針，培養(yǎng)有理想、有道德、有文化、有紀(jì)律的社會主義公民，提高全民族的素質(zhì)具有十分重要的意義�！�
小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要求我們以唯物辯證法為指導(dǎo)，理論聯(lián)系實際，使學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識的同時，發(fā)展智力，培養(yǎng)能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和求知欲，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，小學(xué)數(shù)學(xué)的研究性學(xué)習(xí)則是在教師的指導(dǎo)下，是學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題，帶著問題運用觀察、比較、分析、判斷、推理等研究手段自己獲取新的知識，使問題得到解決的一種學(xué)習(xí)活動。這種學(xué)習(xí)能有效地提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提高學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理的思維能力，提高學(xué)生問題解決的策略能力，從而達到小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)要求。
施良方教授在《教育理論：課堂教學(xué)的原理、策略與研究》一書提到“廣義的知識包括兩大類：一類是陳述性知識，即‘知什么’；另一類是程序性知識，即‘知如何’，它包括理智技能和認(rèn)知策略，此外還包括動作技能中的認(rèn)知成分�！背绦蛐灾R中的智慧技能、認(rèn)知策略的形成則是研究性學(xué)習(xí)所要達成的目標(biāo)，尤其是認(rèn)知策略，學(xué)生只有通過自己學(xué)，才能掌握有意注意，思維，記憶等過程的技能。使學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，只有在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生對學(xué)習(xí)材料通過自己的研究性學(xué)習(xí)，才能在學(xué)習(xí)的過程中不斷地領(lǐng)悟認(rèn)知策略，才能逐步地掌握怎么學(xué)，才能使他們能夠在走出學(xué)校之后，不斷地有效地學(xué)習(xí)。
數(shù)學(xué)教育的核心是問題的解決。偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特說：“只要一門科學(xué)分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力；而問題缺乏則預(yù)示著獨立發(fā)展的衰亡或終止�！瓟�(shù)學(xué)研究也需要自己的問題，正是通過這些問題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵意志，發(fā)現(xiàn)新方法和新觀點，達到更為廣闊和自由的境界�！毙W(xué)數(shù)學(xué)的研究性學(xué)習(xí)正是要引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)他所未知的問題，通過數(shù)學(xué)手段來解決問題，且能用數(shù)學(xué)解決問題的策略遷移到其它問題的解決上。小學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題的研究性學(xué)習(xí)，既要注意生活實際中顯示的數(shù)學(xué)問題，更要注意一些有一定研究價值的體現(xiàn)數(shù)學(xué)方法的習(xí)題。如小學(xué)數(shù)學(xué)中的行程問題，小學(xué)生學(xué)習(xí)后可能今后再也不可能碰到這樣的問題，那么這類問題有否研究價值呢？學(xué)習(xí)研究解決行程問題，恰是一種程序性知識的學(xué)習(xí)。研究這類問題將會告訴我們：如何從問題出發(fā)，尋找解決問題的條件，如何利用已有的條件探索條件之間復(fù)雜的隱含聯(lián)系，從而創(chuàng)造出更新更直接的條件建立數(shù)學(xué)模型解決問題。這種問題解決策略正是通過對各種數(shù)學(xué)習(xí)題的研究性學(xué)習(xí)才得以形成。發(fā)現(xiàn)問題，研究問題，構(gòu)建解決問題和認(rèn)知策略，這就是小學(xué)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的目的和意義。
二、小學(xué)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的內(nèi)容
研究性學(xué)習(xí)可以分成形成型研究性學(xué)習(xí)，應(yīng)用型研究性學(xué)習(xí)等等。小學(xué)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的內(nèi)容大致也可以有這幾種。
數(shù)學(xué)新知識、新概念的學(xué)習(xí)與形成如果與學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與具體經(jīng)驗很接近，即處于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，這部分的學(xué)習(xí)內(nèi)容可以作為研究性學(xué)習(xí)的內(nèi)容。如：小數(shù)乘法的學(xué)習(xí)。學(xué)生已有整數(shù)乘法運算的知識與技能，小數(shù)乘法的計算方法的學(xué)習(xí)完全可以在教師的指導(dǎo)下完成。教師可以先讓學(xué)生觀察在整數(shù)乘法中，因數(shù)擴大或縮小和積擴大或縮之間的倍數(shù)關(guān)系，那么如果小數(shù)因數(shù)去掉小數(shù)點變成整數(shù)后計算得到的積和原來的積有什么關(guān)系呢？讓學(xué)生思考研究。經(jīng)過多題的比較研究，學(xué)生可明白因數(shù)擴大若干倍積也擴大相同的倍數(shù)，如果小數(shù)乘法變成整數(shù)乘法來計算，積擴大了若干倍，要恢復(fù)成原來的積，只要把擴大的積縮小相同的倍數(shù)即可。教師繼續(xù)可引導(dǎo)學(xué)生去觀察：小數(shù)乘法中積的小數(shù)位數(shù)與因數(shù)的小數(shù)位數(shù)之間的聯(lián)系，找找規(guī)律，找找原因，學(xué)生就能得到小數(shù)乘法的計算法則。再如：學(xué)習(xí)三角形面積的計算，教師給出一個三角形圖形，請學(xué)生量量算算它的面積大小，學(xué)生可能會用各種方法來試圖計算它的面積大小，如用畫方格的方法等。教師可以再給出一個完全一樣的三角形，讓學(xué)生想辦法，看能不能用這兩個完全一樣的三角形，不用畫方格的方法來計算出其中一個的面積。能不能用已學(xué)過的平行四邊形面積計算的方法試一試，學(xué)生經(jīng)過討論、試驗，會試圖把這兩個三角形拼成一個平行四邊形，再測量出平行四邊形的底和高的長度，并會發(fā)現(xiàn)這樣一個三角形的面積恰好是拼成的平行四邊形面積的一半，并計算出平行四邊形的面積除以2就是等底等高三角形的面積。雖然拼的方法不同但計算的結(jié)果都一樣，這樣就順理成章地推導(dǎo)出三角形面積的計算方法。象這類舉不勝舉的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和概念的形成性學(xué)習(xí)材料，都可以作為小學(xué)數(shù)學(xué)形成型研究性學(xué)習(xí)的內(nèi)容。
目前小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中教師普遍重視知識與技能形成性的研究性學(xué)習(xí)，而對另一種更重要的研究性學(xué)習(xí)，即問題解決的研究性學(xué)習(xí)或應(yīng)用型的研究性學(xué)習(xí)卻沒有引起足夠的重視。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中對數(shù)學(xué)習(xí)題的知識功能較重視，而對它的教育功能不夠重視，數(shù)學(xué)習(xí)題的解答往往停留在簡單模仿的水平上，沒有認(rèn)識到數(shù)學(xué)習(xí)題是一個載體，通過解答數(shù)學(xué)習(xí)題可使學(xué)生的思維活動有一定水平的目的性、方向性、確定性和辨別性，從而成為培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)的重要工具。在數(shù)學(xué)習(xí)題解答的研究性學(xué)習(xí)中，有的放矢地轉(zhuǎn)化解題方法，從一種途徑轉(zhuǎn)向另一種途徑可以培養(yǎng)思維的靈活性。堅持?jǐn)?shù)學(xué)運算速度的要求，同時使學(xué)生掌握合理的運算技巧和探索問題的方法，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性。分析數(shù)學(xué)習(xí)題條件的實質(zhì)，以及條件之間的相互聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)其中的隱含條件，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。善于發(fā)現(xiàn)問題，提出質(zhì)疑，及時摒棄自己的錯誤，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性。在解題中引導(dǎo)學(xué)生重視常規(guī)而又不墨守成規(guī)，尋求變異，從多角度，全方位考慮問題，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性。在解題中鼓勵學(xué)生主動地、獨立地、別出心裁地提出新方法、新見解、不因循守舊，不迷信權(quán)威，善于聯(lián)想、善于類比、可以培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性。研究解答好思維性強的習(xí)題使學(xué)生得益匪淺。
如學(xué)生學(xué)習(xí)了分解質(zhì)因數(shù)知識后，可以出這樣一道題，兩個整數(shù)的積是144，差是10，這兩個整數(shù)分別是幾？學(xué)生可能會把乘積是144的兩個整數(shù)都找出來列成一表：
123468912
14472483624181612
這樣可發(fā)現(xiàn)只有18與8是相差10，則18與8即是本題的答案。如果進一步提出還有沒有別的方法可以解決這個問題呢？經(jīng)過研究，可得到這樣的一個結(jié)論，如果兩個整數(shù)的積相等，那么這兩個整數(shù)所含有的質(zhì)因數(shù)的種類與個數(shù)完全一樣，知道兩個整數(shù)的積，只要把積所含有的質(zhì)因數(shù)進行重新搭配，就能找出各種各樣的乘法算式，如果因數(shù)是整數(shù)，則這些乘法算式的個數(shù)是有限的。同學(xué)們還會根據(jù)這個結(jié)論去編出很多相關(guān)的應(yīng)用題。這樣就把分解質(zhì)因數(shù)這樣一個數(shù)學(xué)知識巧學(xué)活用了。
再如學(xué)生學(xué)習(xí)了正方形、長方形、平行四邊形、三角形、梯形面積計算方法后，讓學(xué)生去研究這樣一道題，由兩個正方形組成的如圖所示的圖形，只知小正方形的邊長為6，求陰影部分三角形的面積，開始學(xué)生會覺得很簡單，因為它與知道兩個正方形邊長的題目很相似，再仔細一看，發(fā)覺缺少一個條件，即缺少大正方形邊長，于是陷入一種困惑。
這時，不妨讓學(xué)生試一試憑直覺你覺得面積應(yīng)是幾？很多人會猜是18！那么為什么呢？不妨再讓學(xué)生去假設(shè)大正方形邊長為已知條件，長度可以隨意定，讓學(xué)生去計算陰影部分面積，于是大家發(fā)現(xiàn)結(jié)果驚人的一致，都是18。這又是為什么呢？學(xué)生可以肯定陰影部分面積與小正方形有密切關(guān)系，而與大正方形沒有多大的關(guān)系。此時讓學(xué)生去觀察三角形AEF與梯形CBEF的大小，有沒有辦法證明是一樣大。再觀察三角形AHB與三角形CHF的大小關(guān)系，會發(fā)現(xiàn)這里有一個等量替換的關(guān)系而恍然大悟。象這樣：猜想----假設(shè)----驗證----推理的研究過程將會激發(fā)學(xué)生極大的學(xué)習(xí)興趣，也可能悟出一些問題解決的策略。要使數(shù)學(xué)習(xí)題成為小學(xué)數(shù)學(xué)的研究性學(xué)習(xí)的內(nèi)容，僅依靠現(xiàn)有的教材是不夠的，需要我們教師不斷地根據(jù)學(xué)生的知識現(xiàn)狀與能力去創(chuàng)造，從而使數(shù)學(xué)習(xí)題的教育功能得到充分體現(xiàn)。當(dāng)然這部分研究性學(xué)習(xí)的內(nèi)容并不是每個學(xué)生每一次都能得出研究的結(jié)果，因此在內(nèi)容的選擇上，應(yīng)該從易到難，從簡單到復(fù)雜，而且要強調(diào)研究性學(xué)習(xí)中團隊合作的精神，一個人想不出不等于大家想不出，一個人在一個問題中思考研究出一個方面，群體就可以解決一個較難的問題。數(shù)學(xué)習(xí)題的研究性學(xué)習(xí)是一個很重要的內(nèi)容，必須引起我們數(shù)學(xué)教師，尤其是小學(xué)數(shù)學(xué)教師的關(guān)注。
三、小學(xué)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的策略
小學(xué)數(shù)學(xué)的研究性學(xué)習(xí)主要是通過學(xué)生自己的研究去發(fā)現(xiàn)認(rèn)識數(shù)學(xué)知識，或利用數(shù)學(xué)知識去解決實際問題。因而在小學(xué)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中一般采用這樣一些策略。
第一，教師要準(zhǔn)備可供研究的材料，要根據(jù)兒童的心理特征設(shè)計內(nèi)容，抽象邏輯思維也具有很大成分的具體形象性的特點，教師要設(shè)置問題情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察各種數(shù)學(xué)現(xiàn)象或數(shù)字的顯著特點，并逐步縮小觀察范圍，把注意力集中于某個中心點。教師提供材料開始都應(yīng)該是直觀形象的。
第二，直觀形象的材料要讓學(xué)生經(jīng)過實際操作，動手算算、劃劃、分分、拼拼，引導(dǎo)學(xué)生提出假設(shè)，適時提出問題，引起學(xué)生思考、分析、比較，對各種信息進行轉(zhuǎn)換與重新組合，以事實為依據(jù)來驗證假設(shè)，并且不斷地對假設(shè)進行修正和完善，以推導(dǎo)出概括性的結(jié)論。?
第三，教師在整個研究過程中，要幫助學(xué)生理清思維過程，并能用比較清晰的、有條理的語言來表述整個思考與研究過程，這樣有利于學(xué)生通過研究獲得新知識與認(rèn)知策略，并納入到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。
第四，教師還可以提供相類似的材料，以便學(xué)生將研究所獲得的結(jié)論或方法，運用于新的問題情景中，使其得以鞏固和深入，形成問題解決策略的遷移能力。
第五，教師要適當(dāng)?shù)亟M織學(xué)生分組，最好能按學(xué)生學(xué)習(xí)能力的強弱交叉分組，發(fā)揮互補優(yōu)勢，以體現(xiàn)互助合作精神。
下面僅以一例，說明以上策略的應(yīng)用。教師給出一個問題解決的材料，現(xiàn)在有一個比薩餅，如果切10刀，最多能切出多少塊大大小小的比薩餅。（這個問題適宜于中、高年級的學(xué)生思考）。教師可先引導(dǎo)學(xué)生去畫一個大圓代替比薩餅，然后用直線代替切刀，先試切一刀，二刀，三刀……等等，學(xué)生動手操作，最后結(jié)論可能是不同的！切一刀，都是二塊；切二刀，就有三塊、四塊之分；切三刀；更有四塊、五塊、六塊、七塊等多種答案。教師應(yīng)及時提醒學(xué)生介紹他是如何切的。學(xué)生可能一開始也不是能切出7塊的，可能也是4塊與5塊，但他及時注意到了問題的特殊要求，再繼續(xù)嘗試，結(jié)果切出7塊。這時教師要讓學(xué)生分組討論，讓他們討論切4刀怎么樣？怎樣切才能使分成的塊數(shù)最多。經(jīng)過討論，學(xué)生會得出這樣的假設(shè)，如果以直線代替刀，則要使每兩條直線都相交，并且交點不重疊，才有可能分出最多塊。然后再讓學(xué)生試5刀、6刀，這時學(xué)生會發(fā)現(xiàn)第5條直線、第6條直線已經(jīng)很難畫上去，圓也越畫越大。教師可適時提出，我們能不能對已研究得出的結(jié)果排列出一張有序的數(shù)據(jù)表，來思考一下其中的規(guī)律呢？
觀察結(jié)果，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)前一個塊數(shù)加上后一個直線條數(shù)，即是后一個分成的最多塊數(shù)。這樣就很順利地推導(dǎo)出切5刀，切6刀，甚至切10刀的塊數(shù)。學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)獲得了第一個成果。教師這時應(yīng)提出更高的要求，提出更新的問題。如果要切49刀，50刀等，這樣推算是不是太麻煩？能不能找出2，4，7，11，16……這樣一串?dāng)?shù)與1，2，3，4，5……之間的關(guān)系，找找有什么規(guī)律性的東西，學(xué)生分組討論研究，在小組討論的基礎(chǔ)上，由小組代表發(fā)言，形成大組討論的形式，最后能推導(dǎo)出一個計算公式：（刀數(shù)＋1）×刀數(shù)÷2＋1＝塊數(shù)，然后再進行逐個數(shù)據(jù)的驗證，證明是切實可行的。這樣就完成了一個完整的研究過程，取得了研究成果的高級形式----直線分割平面的方法和計算。最后還需請幾個學(xué)生用完整的語言敘述整個研究的過程以及其中的思維活動，以利于學(xué)生構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)與問題解決的策略。這樣一個從形象到抽象，從具體到一般，再回到具體的研究思維過程。是源于教師在其中的指導(dǎo)作用是參謀而不是主謀，到位而不越位。
四、小學(xué)數(shù)學(xué)的研究性學(xué)習(xí)和接受性學(xué)習(xí)
小學(xué)數(shù)學(xué)的研究性學(xué)習(xí)優(yōu)點是明顯的。
第一，促進智力的發(fā)展。通過學(xué)生自己的發(fā)現(xiàn)、研究去學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生按照促使信息更迅速地用于解決問題的方式去獲得信息。
第二，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生體驗到研究中的樂趣，從而將學(xué)習(xí)的外部動機轉(zhuǎn)化為內(nèi)部動機，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。
第三，培養(yǎng)學(xué)生掌握問題解決的策略和研究的方法。有利于學(xué)生再學(xué)習(xí)，而這種研究方法的雛形對將來進行科學(xué)探索和研究具有十分重要的價值和遷移作用。
第四，提升學(xué)生記憶品質(zhì)。學(xué)生自己研究得到的成果，會把整個研究過程形成的記憶產(chǎn)生豐富的“再生力”而長期保持下去。
但是研究性學(xué)習(xí)也有其明顯的局限性：第一，通過研究性學(xué)習(xí)來掌握知識，效率較低。第二，研究性學(xué)習(xí)有一定的適用范圍。第三，研究性學(xué)習(xí)要求學(xué)生具備相應(yīng)的實踐經(jīng)驗。對于小學(xué)生來說，如不能實踐操作的，就不能建立有效的假設(shè)，那么研究的結(jié)果就變成一種盲目亂猜，變成一種形式主義。第四，一個人不可能只憑發(fā)現(xiàn)、研究去學(xué)習(xí)，沒有扎實的知識基礎(chǔ)，任何研究都是不現(xiàn)實的。
接受性學(xué)習(xí)也有其優(yōu)點與局限，其優(yōu)點表現(xiàn)為它可以使學(xué)生在相對短的時間內(nèi)掌握大量的科學(xué)文化知識；有助于使學(xué)生掌握的知識達到系統(tǒng)化；有助于培養(yǎng)學(xué)生從書本中獲取知識的習(xí)慣和能力；另外接受性學(xué)習(xí)對教育設(shè)施的要求較低，成本低，經(jīng)濟易行。但接受性學(xué)習(xí)也有其缺陷：首先，對于低年級兒童，接受學(xué)習(xí)受到很大限制，因為他們對新知識的學(xué)習(xí)只依賴于自己的具體經(jīng)驗。中、高年級學(xué)生對于新知識的學(xué)習(xí)在一定程度上仍需要自己的具體經(jīng)驗為依據(jù)。因此小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)光靠接受性學(xué)習(xí)是不夠的；其次，接受性學(xué)習(xí)對培養(yǎng)學(xué)生的探究精神、創(chuàng)造精神，讓學(xué)生掌握科學(xué)探究方法等方面的作用明顯不如研究性學(xué)習(xí)。
綜上所述：接受性學(xué)習(xí)與研究性學(xué)習(xí)是相互制約、相互促進的。沒有具備一定的知識基礎(chǔ)而進行研究性學(xué)習(xí)，其效率必然是很低下的，學(xué)生只能盲目地、機械地進行“試誤”式的研究。而有效的研究性學(xué)習(xí)賴以發(fā)生的知識基礎(chǔ)從何而來呢，可以來自接受性學(xué)習(xí)，也可以來自研究性學(xué)習(xí)，但主要的是來自接受性學(xué)習(xí)。另一方面，研究性學(xué)習(xí)也是促進接受學(xué)習(xí)的一個重要條件，接受性學(xué)習(xí)在一定程度上需要具體經(jīng)驗作支柱，而研究性學(xué)習(xí)是學(xué)生通過自身體驗獲得具體經(jīng)驗的重要途徑，因此研究性學(xué)習(xí)又是接受性學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。再者，在研究學(xué)習(xí)中要運用過去所獲得的知識，包括接受學(xué)習(xí)中獲得知識，通過運用知識來解決問題，而使知識及其運用策略得到鞏固并獲得新的理解。同時，研究性學(xué)習(xí)在使學(xué)生掌握科學(xué)發(fā)現(xiàn)，探究方法等方面具有獨特的功能，也是學(xué)生理解抽象的、概括性知識的必要途徑。顯然，這些作用都是接受性學(xué)習(xí)所不能替代的�？傊�，學(xué)校教學(xué)應(yīng)以接受學(xué)習(xí)與研究學(xué)習(xí)并存，并隨教育層次的變化相應(yīng)地有所變化。學(xué)生受教育的過程就是從接受走向研究的過程，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)也不例外。最重要的是，教師必須根據(jù)教育對象的特點、教學(xué)的材料等具體條件，選擇教學(xué)方式，只有真正適應(yīng)學(xué)生學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方式才是好方法。
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